Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y+16=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação de uma cônica: . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa e, se for uma cônica regular (como um círculo, elipse, parábola ou hipérbole), encontrar a equação canônica dela em um novo sistema de coordenadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como mudança de eixos e rotação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, observamos os coeficientes dos termos quadráticos. A presença do termo sugere que a cônica está inclinada em relação aos eixos coordenados, ou seja, ela está rotacionada.

Passo 3

Para simplificar a equação e eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , vamos rotacionar o sistema de coordenadas. A ideia é encontrar um ângulo de rotação que faça com que o termo desapareça na nova equação.
A fórmula para eliminar o termo é:
onde , e são os coeficientes de , e respectivamente na equação original.

Passo 4

Identificando os coeficientes:
A = 1, B = 2, C = 1
Substituindo na fórmula:
tan(2theta) = 21 - 1 = 20
Isso significa que , então .

Passo 5

Agora que encontramos o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , vamos fazer a substituição das coordenadas y = x'sintheta + y'costheta e x = raiz22x' - raiz22y' para y = raiz22x' + raiz22y' e usando as fórmulas de rotação:
Como , temos . Substituindo:

Passo 6

Vamos substituir essas expressões de (raiz22x' - raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + (raiz22x' + raiz22y')^2 + 8(raiz22x' - raiz22y') - 8(raiz22x' + raiz22y') + 16 = 0 e na equação original:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.

Passo 7

Primeiro, simplificamos os termos quadráticos:
(raiz22x' - raiz22y')^2 = 12(x'^2 - 2x'y' + y'^2)
2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') = 2(12(x'^2 - y'^2)) = x'^2 - y'^2
(raiz22x' + raiz22y')^2 = 12(x'^2 + 2x'y' + y'^2)

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação:
12(x'^2 - 2x'y' + y'^2) + (x'^2 - y'^2) + 12(x'^2 + 2x'y' + y'^2) + 8(raiz22x' - raiz22y') - 8(raiz22x' + raiz22y') + 16 = 0
Vamos simplificar os termos novamente.

Passo 9

Simplificando os termos quadráticos:
12x'^2 - x'y' + 12y'^2 + x'^2 - y'^2 + 12x'^2 + x'y' + 12y'^2
Somando-os:
(12 + 1 + 12)x'^2 + (-1 + 0 + 1)x'y' + (12 - 1 + 12)y'^2 = 2x'^2 - y'^2

Passo 10

Agora, vamos simplificar os termos lineares:
8(raiz22x' - raiz22y') - 8(raiz22x' + raiz22y') = 4raiz2x' - 4raiz2y' - 4raiz2x' - 4raiz2y' = -8raiz2y'
Agora, substituímos tudo na equação:
2x'^2 - y'^2 - 8raiz2y' + 16 = 0

Passo 11

Vamos reorganizar a equação para completar o quadrado no termo 2x'^2 - y'^2 - 8raiz2y' = -16 :
2x'^2 - (y'^2 + 8raiz2y') = -16
Fatorando o termo 2x'^2 - [(y'^2 + 8raiz2y' + 32) - 32] = -16 :
2x'^2 - (y' + 4raiz2)^2 + 32 = -16
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos 2x'^2 - (y' + 4raiz2)^2 = -48 :
Simplificando:
Levantando os constantes:

Passo 12

Dividindo toda a equação por 2x'^2-48 - (y' + 4raiz2)^2-48 = 1 para facilitar:
-x'^224 + (y' + 4raiz2)^248 = 1
Simplificando os coeficientes:
x'^224 - (y' + 4raiz2)^248 = -1
Multiplicando ambos os lados por (y' + 4raiz2)^248 - x'^224 = 1 :
Para termos uma equação positiva igual a 1, ajustamos os sinais:

Passo 13

Essa é a equação canônica da nossa cônica no novo sistema de coordenadas e . A forma representa uma hipérbole. Portanto, a cônica dada é uma hipérbole.

Resposta

A cônica representada pela equação (y' + 4raiz2)^248 - x'^224 = 1 é uma hipérbole. Sua equação canônica no sistema de coordenadas rotacionado e é:

Exercícios relacionados