Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação de uma cônica: . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa e, se for uma cônica regular (como um círculo, elipse, parábola ou hipérbole), encontrar a equação canônica dela em um novo sistema de coordenadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como mudança de eixos e rotação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, observamos os coeficientes dos termos quadráticos. A presença do termo sugere que a cônica está inclinada em relação aos eixos coordenados, ou seja, ela está rotacionada.

Passo 3

Para simplificar a equação e eliminar o termo , vamos rotacionar o sistema de coordenadas. A ideia é encontrar um ângulo de rotação que faça com que o termo desapareça na nova equação.
A fórmula para eliminar o termo é:
onde , e são os coeficientes de , e respectivamente na equação original.

Passo 4

Identificando os coeficientes:
Substituindo na fórmula:
Isso significa que , então .

Passo 5

Agora que encontramos o ângulo de rotação , vamos fazer a substituição das coordenadas e para e usando as fórmulas de rotação:
Como , temos . Substituindo:

Passo 6

Vamos substituir essas expressões de e na equação original:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.

Passo 7

Primeiro, simplificamos os termos quadráticos:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação:
Vamos simplificar os termos novamente.

Passo 9

Simplificando os termos quadráticos:
Somando-os:

Passo 10

Agora, vamos simplificar os termos lineares:
Agora, substituímos tudo na equação:

Passo 11

Vamos reorganizar a equação para completar o quadrado no termo :
Fatorando o termo :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Simplificando:
Levantando os constantes:

Passo 12

Dividindo toda a equação por para facilitar:
Simplificando os coeficientes:
Multiplicando ambos os lados por :
Para termos uma equação positiva igual a 1, ajustamos os sinais:

Passo 13

Essa é a equação canônica da nossa cônica no novo sistema de coordenadas e . A forma representa uma hipérbole. Portanto, a cônica dada é uma hipérbole.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma hipérbole. Sua equação canônica no sistema de coordenadas rotacionado e é:

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