Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação de uma cônica:
. Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa e, se for uma cônica regular (como um círculo, elipse, parábola ou hipérbole), encontrar a equação canônica dela em um novo sistema de coordenadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como mudança de eixos e rotação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, observamos os coeficientes dos termos quadráticos. A presença do termo
sugere que a cônica está inclinada em relação aos eixos coordenados, ou seja, ela está rotacionada.
Passo 3
Para simplificar a equação e eliminar o termo
, vamos rotacionar o sistema de coordenadas. A ideia é encontrar um ângulo
de rotação que faça com que o termo
desapareça na nova equação.
A fórmula para eliminar o termo
é:
onde
,
e
são os coeficientes de
,
e
respectivamente na equação original.
Passo 4
Identificando os coeficientes:
Substituindo na fórmula:
Isso significa que
, então
.
Passo 5
Agora que encontramos o ângulo de rotação
, vamos fazer a substituição das coordenadas
e
para
e
usando as fórmulas de rotação:
Como
, temos
. Substituindo:
Passo 6
Vamos substituir essas expressões de
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.
Passo 7
Primeiro, simplificamos os termos quadráticos:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na equação:
Vamos simplificar os termos novamente.
Passo 9
Simplificando os termos quadráticos:
Somando-os:
Passo 10
Agora, vamos simplificar os termos lineares:
Agora, substituímos tudo na equação:
Passo 11
Vamos reorganizar a equação para completar o quadrado no termo
:
Fatorando o termo
:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Levantando os constantes:
Passo 12
Dividindo toda a equação por
para facilitar:
Simplificando os coeficientes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para termos uma equação positiva igual a 1, ajustamos os sinais:
Passo 13
Essa é a equação canônica da nossa cônica no novo sistema de coordenadas
e
. A forma
representa uma hipérbole. Portanto, a cônica dada é uma hipérbole.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma hipérbole. Sua equação canônica no sistema de coordenadas rotacionado
e
é:
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:
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ao Plano
, nos casos:
a) Rpta:
a)