(a) Encontre a distribuição posterior para .
(b) Encontre o estimador de Bayes para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a distribuição posterior para e, depois, o estimador de Bayes para . Isso faz parte da Estatística Bayesiana, onde combinamos informações prévias sobre um parâmetro com dados observados para atualizar nosso conhecimento sobre ele. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Bayes e conhecer um pouco sobre distribuições conjugadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que temos uma amostra de dados que são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) seguindo uma distribuição normal com média e variância conhecida . Ou seja, .

Passo 3

Também precisamos de uma distribuição a priori para . Vamos assumir que segue uma distribuição normal com média e variância , ou seja, . Essa escolha é conveniente porque a distribuição normal é conjugada para a normal, o que facilita os cálculos.

Passo 4

Agora, para encontrar a distribuição posterior de , usamos o Teorema de Bayes:
Aqui, é a verossimilhança dos dados dado , é a distribuição a priori, e é a evidência, que atua como uma constante de normalização.

Passo 5

Vamos calcular a verossimilhança . Como os são i.i.d. normais:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do Teorema de Bayes:
Como estamos interessados na forma funcional da distribuição posterior, podemos ignorar as constantes multiplicativas.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão no expoente:
Expandindo os quadrados e agrupando os termos que envolvem , conseguimos reescrever isso como uma função quadrática em , que caracteriza uma distribuição normal.

Passo 8

Após reorganizar os termos, a distribuição posterior também será uma distribuição normal com média e variância atualizadas:
Aqui, é a média amostral.

Passo 9

Agora, para encontrar o estimador de Bayes para , que é o valor esperado da distribuição posterior, basta usar a média da distribuição que acabamos de encontrar:
Isso combina a informação da amostra com a informação a priori de forma ponderada pelas variâncias.

Resposta

A distribuição posterior para é uma normal com média e variância . O estimador de Bayes para é então:

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