(a) Encontre a distribuição posterior para mu.
(b) Encontre o estimador de Bayes para mu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a distribuição posterior para e, depois, o estimador de Bayes para . Isso faz parte da Estatística Bayesiana, onde combinamos informações prévias sobre um parâmetro com dados observados para atualizar nosso conhecimento sobre ele. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Bayes e conhecer um pouco sobre distribuições conjugadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que temos uma amostra de dados que são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) seguindo uma distribuição normal com média e variância conhecida . Ou seja, .

Passo 3

Também precisamos de uma distribuição a priori para . Vamos assumir que segue uma distribuição normal com média e variância , ou seja, . Essa escolha é conveniente porque a distribuição normal é conjugada para a normal, o que facilita os cálculos.

Passo 4

Agora, para encontrar a distribuição posterior de p(mu | x) = p(x | mu) cdot p(mu)p(x) , usamos o Teorema de Bayes:
Aqui, é a verossimilhança dos dados dado , é a distribuição a priori, e é a evidência, que atua como uma constante de normalização.

Passo 5

Vamos calcular a verossimilhança p(x | mu) = prodi=1^n 1raiz2pisigma^2 exp( -(xi - mu)^22sigma^2 ) . Como os p(x | mu) = (1raiz2pisigma^2)^n exp( -12sigma^2 sumi=1^n (xi - mu)^2 ) são i.i.d. normais:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, substituímos p(mu | x) propto exp( -12sigma^2 sumi=1^n (xi - mu)^2 ) cdot exp( -(mu - mu0)^22tau^2 ) e na fórmula do Teorema de Bayes:
Como estamos interessados na forma funcional da distribuição posterior, podemos ignorar as constantes multiplicativas.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão no expoente:
-12sigma^2 sumi=1^n (xi - mu)^2 - (mu - mu0)^22tau^2
Expandindo os quadrados e agrupando os termos que envolvem , conseguimos reescrever isso como uma função quadrática em , que caracteriza uma distribuição normal.

Passo 8

Após reorganizar os termos, a distribuição posterior mu | x sim N( nsigma^2 barx + 1tau^2 mu0nsigma^2 + 1tau^2, 1nsigma^2 + 1tau^2 ) também será uma distribuição normal com média e variância atualizadas:
Aqui, é a média amostral.

Passo 9

Agora, para encontrar o estimador de Bayes para muBayes = nsigma^2 barx + 1tau^2 mu0nsigma^2 + 1tau^2 , que é o valor esperado da distribuição posterior, basta usar a média da distribuição que acabamos de encontrar:
Isso combina a informação da amostra com a informação a priori de forma ponderada pelas variâncias.

Resposta

A distribuição posterior para muBayes = nsigma^2 barx + 1tau^2 mu0nsigma^2 + 1tau^2 é uma normal com média e variância . O estimador de Bayes para é então:

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