(a) Encontre a distribuição posterior para
.
(b) Encontre o estimador de Bayes para
.
(b) Encontre o estimador de Bayes para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a distribuição posterior para
e, depois, o estimador de Bayes para
. Isso faz parte da Estatística Bayesiana, onde combinamos informações prévias sobre um parâmetro com dados observados para atualizar nosso conhecimento sobre ele. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Bayes e conhecer um pouco sobre distribuições conjugadas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que temos uma amostra de dados
que são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) seguindo uma distribuição normal com média
e variância conhecida
. Ou seja,
.
Passo 3
Também precisamos de uma distribuição a priori para
. Vamos assumir que
segue uma distribuição normal com média
e variância
, ou seja,
. Essa escolha é conveniente porque a distribuição normal é conjugada para a normal, o que facilita os cálculos.
Passo 4
Agora, para encontrar a distribuição posterior de
, usamos o Teorema de Bayes:
Aqui,
é a verossimilhança dos dados dado
,
é a distribuição a priori, e
é a evidência, que atua como uma constante de normalização.
Passo 5
Vamos calcular a verossimilhança
. Como os
são i.i.d. normais:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do Teorema de Bayes:
Como estamos interessados na forma funcional da distribuição posterior, podemos ignorar as constantes multiplicativas.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão no expoente:
Expandindo os quadrados e agrupando os termos que envolvem
, conseguimos reescrever isso como uma função quadrática em
, que caracteriza uma distribuição normal.
Passo 8
Após reorganizar os termos, a distribuição posterior
também será uma distribuição normal com média e variância atualizadas:
Aqui,
é a média amostral.
Passo 9
Agora, para encontrar o estimador de Bayes para
, que é o valor esperado da distribuição posterior, basta usar a média da distribuição que acabamos de encontrar:
Isso combina a informação da amostra com a informação a priori de forma ponderada pelas variâncias.
Resposta
A distribuição posterior para
é uma normal com média
e variância
. O estimador de Bayes para
é então:
Exercícios relacionados
A variável aleatória bidimensional
tem densidade igual a
se
, e ZERO em caso contrário. Determine:
d)
d)
(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
. Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?
Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra
ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Determinar o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:
Data | Valor do cheque ($) |
|
|
11 de abril |
|
21 de abril |
|