A variável aleatória bidimensional tem densidade igual a
se , e ZERO em caso contrário. Determine:
d)

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória bidimensional com uma densidade específica. Nosso objetivo é encontrar , que basicamente significa calcular a expectativa de de duas vezes, primeiro condicionada a e depois em geral. Para resolver isso, vamos precisar entender densidades conjuntas, marginais, condicionais e como calcular expectativas a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função de densidade marginal de , chamada . Isso é feito integrando a densidade conjunta em relação a dentro dos limites dados.
Então, a densidade marginal de é para .

Passo 3

Agora, vamos achar a função de densidade condicional de dado , que é . Usamos a fórmula:
Isso mostra que, dado , a variável é distribuída uniformemente no intervalo .

Passo 4

Com a densidade condicional em mãos, podemos calcular a expectativa de dado , que é . Para uma distribuição uniforme no intervalo , a expectativa é simplesmente a média desse intervalo:

Passo 5

Finalmente, queremos encontrar , que é igual a . Então,
Vamos calcular :
Então,

Resposta

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á
(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho . Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de .
(a) Encontre a distribuição posterior para .
(b) Encontre o estimador de Bayes para .