A variável aleatória bidimensional
tem densidade igual a
se
, e ZERO em caso contrário. Determine:
d)
d)
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória bidimensional
com uma densidade específica. Nosso objetivo é encontrar
, que basicamente significa calcular a expectativa de
de duas vezes, primeiro condicionada a
e depois em geral. Para resolver isso, vamos precisar entender densidades conjuntas, marginais, condicionais e como calcular expectativas a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a função de densidade marginal de
, chamada
. Isso é feito integrando a densidade conjunta
em relação a
dentro dos limites dados.
Então, a densidade marginal de
é
para
.
Passo 3
Agora, vamos achar a função de densidade condicional de
dado
, que é
. Usamos a fórmula:
Isso mostra que, dado
, a variável
é distribuída uniformemente no intervalo
.
Passo 4
Com a densidade condicional em mãos, podemos calcular a expectativa de
dado
, que é
. Para uma distribuição uniforme no intervalo
, a expectativa é simplesmente a média desse intervalo:
Passo 5
Finalmente, queremos encontrar
, que é igual a
. Então,
Vamos calcular
:
Então,
Resposta
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