A variável aleatória bidimensional (X, Y) tem densidade igual a
f(x, y)=32 raizx
se 0, e ZERO em caso contrário. Determine:
d) E(E(Y / X))

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória bidimensional com uma densidade específica. Nosso objetivo é encontrar , que basicamente significa calcular a expectativa de de duas vezes, primeiro condicionada a e depois em geral. Para resolver isso, vamos precisar entender densidades conjuntas, marginais, condicionais e como calcular expectativas a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função de densidade marginal de fX(x) = integral0^x f(x, y) , dy = integral0^x 32 raizx , dy = 32 raizx cdot x = 3 raizx2 , chamada . Isso é feito integrando a densidade conjunta em relação a dentro dos limites dados.
Então, a densidade marginal de é para .

Passo 3

Agora, vamos achar a função de densidade condicional de fY|X(y mid x) = f(x, y)fX(x) = 32 raizx3 raizx2 = 1x dado , que é . Usamos a fórmula:
Isso mostra que, dado , a variável é distribuída uniformemente no intervalo .

Passo 4

Com a densidade condicional em mãos, podemos calcular a expectativa de E(Y mid X = x) = x2 dado , que é . Para uma distribuição uniforme no intervalo , a expectativa é simplesmente a média desse intervalo:

Passo 5

Finalmente, queremos encontrar E(Y) = E(X2) = 12 E(X) , que é igual a E(X) = integral0^1 x cdot fX(x) , dx = integral0^1 x cdot 3 raizx2 , dx = 32 integral0^1 x^3/2 , dx = 32 cdot 25 = 35 . Então,
E(Y) = 12 cdot 35 = 310
Vamos calcular :
Então,

Resposta

E(E(Y mid X)) = 310

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