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(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho . Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício parte por parte! No item (a), a gente precisa encontrar a função de verossimilhança com base numa amostra aleatória de tamanho . Além disso, temos que calcular o logaritmo da verossimilhança. O conteúdo envolvido aqui é a estatística de máxima verossimilhança, onde queremos avaliar a probabilidade dos parâmetros dados os dados observados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma amostra aleatória de tamanho de uma distribuição, a função de verossimilhança é o produto das funções densidade de probabilidade de cada observação. Como as observações são independentes, a verossimilhança é:

Passo 3

Substituímos a função dada no enunciado na expressão da verossimilhança. Lembrando que para cada :
Então,

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos separar os produtos:

Passo 5

Vamos reorganizar os termos com expoentes:
Mas, de forma mais direta:

Passo 6

Agora, para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, que transforma produtos em somas e facilita a maximização:

Passo 7

Agora, vamos para o item (b). A gente precisa mostrar que o logaritmo da verossimilhança é maximizado resolvendo as equações dadas. Isso envolve usar o método de maximização, ou seja, encontrar os valores de e que tornam o log-verossimilhança o maior possível.

Passo 8

Para maximizar , vamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. Isso nos dá as condições de máximo.

Passo 9

Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 10

Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 11

Resolvendo essas equações, obtemos as estimativas de máxima verossimilhança para e :

Passo 12

Essas equações resultam das condições de maximização do log-verossimilhança e dão as estimativas ótimas para os parâmetros e .

Passo 13

Finalmente, vamos ao item ©. A questão pergunta sobre as complicações envolvidas na resolução das duas equações obtidas no item (b). Ou seja, quais dificuldades encontramos ao tentar resolver essas equações para encontrar e .

Passo 14

Primeira complicação: as equações são não-lineares em e . Isso significa que não dá para isolar ou de forma simples e direta para encontrar soluções analíticas.

Passo 15

Segunda complicação: elas envolvem somas que incluem termos como e . Esses termos tornam as equações ainda mais complexas, pois combinam potências e logaritmos com os parâmetros que estamos tentando estimar.

Passo 16

Além disso, as equações dependem mutuamente de e . Ou seja, para resolver para , precisamos saber e vice-versa, o que dificulta a obtenção de soluções fechadas.

Resposta

As complicações na resolução das equações são:
  1. Não-linearidade: As equações são não-lineares em e , tornando difícil isolar e resolver analiticamente para os parâmetros.
  2. Interdependência: As equações para e dependem uma da outra, complicando a obtenção de soluções simultâneas.
  3. Termos Complexos: A presença de termos como e aumenta a complexidade das equações, dificultando o uso de métodos analíticos convencionais.
  4. Necessidade de Métodos Numéricos: Devido à complexidade, muitas vezes é necessário utilizar algoritmos numéricos iterativos para encontrar as estimativas dos parâmetros, o que pode ser computacionalmente intensivo e exigir boas condições iniciais para convergir.

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Encontre o estimador de máxima verossimilhança de .
á
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de , baseado em uma amostra aleatória de tamanho .
A variável aleatória bidimensional tem densidade igual a
se , e ZERO em caso contrário. Determine:
d)
(a) Encontre a distribuição posterior para .
(b) Encontre o estimador de Bayes para .