(a) Encontre a função verossimilhança, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
. Encontre o logaritmo da verossimilhança.
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
© Quais são as complicações envolvidas na resolução das duas equações do item (b)?
(b) Mostre que o logaritmo da verossimilhança é maximizado, resolvendo as equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício parte por parte! No item (a), a gente precisa encontrar a função de verossimilhança com base numa amostra aleatória de tamanho
. Além disso, temos que calcular o logaritmo da verossimilhança. O conteúdo envolvido aqui é a estatística de máxima verossimilhança, onde queremos avaliar a probabilidade dos parâmetros dados os dados observados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma amostra aleatória de tamanho
de uma distribuição, a função de verossimilhança
é o produto das funções densidade de probabilidade de cada observação. Como as observações são independentes, a verossimilhança é:
Passo 3
Substituímos a função
dada no enunciado na expressão da verossimilhança. Lembrando que para cada
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos separar os produtos:
Passo 5
Vamos reorganizar os termos com expoentes:
Mas, de forma mais direta:
Passo 6
Agora, para facilitar, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, que transforma produtos em somas e facilita a maximização:
Passo 7
Agora, vamos para o item (b). A gente precisa mostrar que o logaritmo da verossimilhança é maximizado resolvendo as equações dadas. Isso envolve usar o método de maximização, ou seja, encontrar os valores de
e
que tornam o log-verossimilhança o maior possível.
Passo 8
Para maximizar
, vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso nos dá as condições de máximo.
Passo 9
Primeiro, derivamos em relação a
:
Passo 10
Em seguida, derivamos em relação a
:
Passo 11
Resolvendo essas equações, obtemos as estimativas de máxima verossimilhança para
e
:
Passo 12
Essas equações resultam das condições de maximização do log-verossimilhança e dão as estimativas ótimas para os parâmetros
e
.
Passo 13
Finalmente, vamos ao item ©. A questão pergunta sobre as complicações envolvidas na resolução das duas equações obtidas no item (b). Ou seja, quais dificuldades encontramos ao tentar resolver essas equações para encontrar
e
.
Passo 14
Primeira complicação: as equações são não-lineares em
e
. Isso significa que não dá para isolar
ou
de forma simples e direta para encontrar soluções analíticas.
Passo 15
Segunda complicação: elas envolvem somas que incluem termos como
e
. Esses termos tornam as equações ainda mais complexas, pois combinam potências e logaritmos com os parâmetros que estamos tentando estimar.
Passo 16
Além disso, as equações dependem mutuamente de
e
. Ou seja, para resolver para
, precisamos saber
e vice-versa, o que dificulta a obtenção de soluções fechadas.
Resposta
As complicações na resolução das equações são:
- Não-linearidade: As equações são não-lineares em
e , tornando difícil isolar e resolver analiticamente para os parâmetros. - Interdependência: As equações para
e dependem uma da outra, complicando a obtenção de soluções simultâneas. - Termos Complexos: A presença de termos como
e aumenta a complexidade das equações, dificultando o uso de métodos analíticos convencionais. - Necessidade de Métodos Numéricos: Devido à complexidade, muitas vezes é necessário utilizar algoritmos numéricos iterativos para encontrar as estimativas dos parâmetros, o que pode ser computacionalmente intensivo e exigir boas condições iniciais para convergir.
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Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
.
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
.
A variável aleatória bidimensional
tem densidade igual a
se
, e ZERO em caso contrário. Determine:
d)
d)
(a) Encontre a distribuição posterior para
.
(b) Encontre o estimador de Bayes para .
(b) Encontre o estimador de Bayes para