A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional
é dada por:
Determine:
e)
e)
Passo 1
Bom, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de probabilidade para duas variáveis aleatórias,
e
. A pergunta é para determinar
, que é a expectativa de
dado um valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a expectativa condicional utilizando a distribuição conjunta e marginal das variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a expectativa condicional
é calculada usando a seguinte fórmula:
Isso significa que vamos somar todos os possíveis valores de
multiplicados pela probabilidade de
dado que
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a definição de probabilidade condicional:
Aqui,
é a probabilidade conjunta, que já foi dada na questão, e
é a probabilidade marginal de
.
Passo 4
Vamos primeiro encontrar
, que é a soma das probabilidades conjuntas para todos os
que correspondem a cada
:
Como estamos somando
para
até
, o número de termos nessa soma é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da expectativa condicional:
Simplificando, temos:
Passo 6
A soma dos
de
até
é uma soma aritmética que pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo na expressão da expectativa:
Resposta
A expectativa condicional é
.