A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional (X, Y) é dada por:
P(x, y)=2n(n+1) x=1,2, ldots, n e y=1,2, ldots, x
Determine:
e) E(X / Y)

Passo 1

Bom, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de probabilidade para duas variáveis aleatórias, e . A pergunta é para determinar , que é a expectativa de dado um valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a expectativa condicional utilizando a distribuição conjunta e marginal das variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a expectativa condicional E(X mid Y = y) = sumx x cdot P(X = x mid Y = y) é calculada usando a seguinte fórmula:
Isso significa que vamos somar todos os possíveis valores de multiplicados pela probabilidade de dado que .

Passo 3

Para encontrar P(X = x mid Y = y) = P(X = x, Y = y)P(Y = y) , usamos a definição de probabilidade condicional:
Aqui, é a probabilidade conjunta, que já foi dada na questão, e é a probabilidade marginal de .

Passo 4

Vamos primeiro encontrar P(Y = y) = sumx = y^n P(X = x, Y = y) = sumx = y^n 2n(n+1) , que é a soma das probabilidades conjuntas para todos os P(Y = y) = (n - y + 1) cdot 2n(n+1) que correspondem a cada :
Como estamos somando para até , o número de termos nessa soma é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos E(X mid Y = y) = sumx = y^n x cdot 2n(n+1)(n - y + 1) cdot 2n(n+1) = sumx = y^n xn - y + 1 na fórmula da expectativa condicional:
Simplificando, temos:
E(X mid Y = y) = 1n - y + 1 sumx = y^n x

Passo 6

A soma dos sumx = y^n x = (n + y)(n - y + 1)2 de E(X mid Y = y) = 1n - y + 1 cdot (n + y)(n - y + 1)2 = n + y2 até é uma soma aritmética que pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo na expressão da expectativa:

Resposta

A expectativa condicional é .

Exercícios relacionados