Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas cilíndricas, do vetor:
F=-(r sen(theta)+r^2 cos (varphi)) r+(r^3 sen(theta) cos (varphi)) theta+(r sen(theta)^2 cos (varphi)^2) phi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas. Isso significa que precisamos usar as fórmulas específicas para divergente e rotacional nessas coordenadas. Para resolver, vamos precisar conhecer as fórmulas de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas e aplicar elas aos componentes do vetor que nos foi dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o divergente em coordenadas cilíndricas. A fórmula do divergente nabla cdot F = 1r partialpartial r(r Fr) + 1r partial Fthetapartial theta + partial Fvarphipartial varphi em coordenadas cilíndricas é:
Onde , , e são as componentes do vetor nas direções , , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do vetor F = ( -r sen(theta) - r^2 cos (varphi) ) r + ( r^3 sen(theta) cos (varphi) ) theta + ( r sen^2(theta) cos^2(varphi) ) varphi fornecido:
Então temos:

Passo 4

Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Primeiro, r Fr = r ( -r sen(theta) - r^2 cos (varphi) ) = -r^2 sen(theta) - r^3 cos (varphi) :
Derivando em relação a partialpartial r(-r^2 sen(theta) - r^3 cos (varphi)) = -2r sen(theta) - 3r^2 cos (varphi) :
Multiplicando por 1r (-2r sen(theta) - 3r^2 cos (varphi)) = -2 sen(theta) - 3r cos (varphi) :

Passo 5

Segundo termo do divergente: partial Fthetapartial theta = partialpartial theta ( r^3 sen(theta) cos (varphi) ) = r^3 cos(theta) cos (varphi)
Multiplicando por 1r cdot r^3 cos(theta) cos (varphi) = r^2 cos(theta) cos (varphi) :

Passo 6

Terceiro termo do divergente: partial Fvarphipartial varphi = partialpartial varphi ( r sen^2(theta) cos^2(varphi) ) = r sen^2(theta) cdot 2 cos(varphi) (-sen(varphi)) = -2r sen^2(theta) sen(varphi) cos(varphi)

Passo 7

Agora, somando todos os termos do divergente:

Passo 8

Simplificando a expressão do divergente, temos:

Passo 9

Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) em coordenadas cilíndricas. A fórmula do rotacional nabla times F = ( 1r partial Fvarphipartial theta - partial Fthetapartial varphi ) r + ( partial Frpartial varphi - partial Fvarphipartial r ) theta + 1r ( partial (r Ftheta)partial r - partial Frpartial theta ) varphi em coordenadas cilíndricas é:

Passo 10

Vamos calcular cada componente do rotacional separadamente.
Primeiro, componente 1r partial Fvarphipartial theta = 1r cdot partialpartial theta ( r sen^2(theta) cos^2(varphi) ) = 1r cdot 2r sen(theta) cos(theta) cos^2(varphi) = 2 sen(theta) cos(theta) cos^2(varphi) :
Então,

Passo 11

Segundo, componente partial Frpartial varphi = partialpartial varphi ( -r sen(theta) - r^2 cos (varphi) ) = r^2 sen (varphi) :
Então,

Passo 12

Terceiro, componente partial (r Ftheta)partial r = partialpartial r ( r cdot r^3 sen(theta) cos (varphi) ) = partialpartial r ( r^4 sen(theta) cos (varphi) ) = 4 r^3 sen(theta) cos (varphi) :
Então,

Passo 13

Agora, juntando todas as componentes do rotacional:

Passo 14

Finalmente, resumimos os resultados encontrados.

Resposta

O divergente do vetor nabla cdot F = -2 sen(theta) - 3r cos (varphi) + r^2 cos(theta) cos (varphi) - 2r sen^2(theta) sen(varphi) cos(varphi) é:
E o rotacional do vetor nabla times F = ( 2 sen(theta) cos(theta) cos^2(varphi) + r^3 sen(theta) sen (varphi) ) r + ( r^2 sen (varphi) - sen^2(theta) cos^2(varphi) ) theta + ( 4 r^2 sen(theta) cos (varphi) + cos(theta) ) varphi é:

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