Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas cilíndricas, do vetor:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas. Isso significa que precisamos usar as fórmulas específicas para divergente e rotacional nessas coordenadas. Para resolver, vamos precisar conhecer as fórmulas de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas e aplicar elas aos componentes do vetor que nos foi dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o divergente em coordenadas cilíndricas. A fórmula do divergente
em coordenadas cilíndricas
é:
Onde
,
, e
são as componentes do vetor nas direções
,
, e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do vetor
fornecido:
Então temos:
Passo 4
Vamos calcular cada termo do divergente separadamente.
Primeiro,
:
Derivando em relação a
:
Multiplicando por
:
Passo 5
Segundo termo do divergente:
Multiplicando por
:
Passo 6
Terceiro termo do divergente:
Passo 7
Agora, somando todos os termos do divergente:
Passo 8
Simplificando a expressão do divergente, temos:
Passo 9
Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) em coordenadas cilíndricas. A fórmula do rotacional
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 10
Vamos calcular cada componente do rotacional separadamente.
Primeiro, componente
:
Então,
Passo 11
Segundo, componente
:
Então,
Passo 12
Terceiro, componente
:
Então,
Passo 13
Agora, juntando todas as componentes do rotacional:
Passo 14
Finalmente, resumimos os resultados encontrados.
Resposta
O divergente do vetor
é:
E o rotacional do vetor
é:
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i
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Mostre que
e que
.
Mostre que se
então