Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas retangulares, do vetor F=-(x^wed>= 2+x y) i +(x y z^wed>= 2) j+(x^wed>= 2+y^wed>= 3+x y z^wed>= 2) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado em coordenadas retangulares. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas que definem o divergente e o rotacional em coordenadas cartesianas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são divergente e rotacional:
  • Divergente: Mede a “taxa de saída” do campo vetorial em um ponto. É uma quantidade escalar.
    A fórmula é:
    nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
  • Rotacional: Mede a “giro” ou a rotação do campo vetorial em torno de um ponto. É um vetor.
    A fórmula é:
    nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Agora, vamos identificar as componentes do vetor F:
F = Fx i + Fy j + Fz k Fx = -(x^2 + x y) Fy = x y z^2 Fz = x^2 + y^3 + x y z^2

Passo 3

Vamos calcular o divergente primeiro usando a fórmula mencionada:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x:
    Fx = -(x^2 + x y) partial Fxpartial x = -(2x + y)
  2. partial Fypartial y:
    Fy = x y z^2 partial Fypartial y = x z^2
  3. partial Fzpartial z:
    Fz = x^2 + y^3 + x y z^2 partial Fzpartial z = 2x y z
Agora, somando todas as derivadas:
nabla cdot F = -(2x + y) + x z^2 + 2x y z
Simplificando:
nabla cdot F = -2x - y + x z^2 + 2x y z

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional usando a fórmula:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente i:
    partial Fzpartial y = partialpartial y(x^2 + y^3 + x y z^2) = 3y^2 + x z^2 partial Fypartial z = partialpartial z(x y z^2) = 2x y z Portanto, 3y^2 + x z^2 - 2x y z
  2. Componente j:
    partial Fxpartial z = partialpartial z(-x^2 - x y) = 0 partial Fzpartial x = partialpartial x(x^2 + y^3 + x y z^2) = 2x + y z^2 Portanto, 0 - (2x + y z^2) = -2x - y z^2
  3. Componente k:
    partial Fypartial x = partialpartial x(x y z^2) = y z^2 partial Fxpartial y = partialpartial y(-x^2 - x y) = -x Portanto, y z^2 - (-x) = y z^2 + x
Agora, juntando tudo:
nabla times F = (3y^2 + x z^2 - 2x y z) i + (-2x - y z^2) j + (y z^2 + x) k

Resposta

O divergente de F é:
nabla cdot F = -2x - y + x z^2 + 2x y z
E o rotacional de F é:
nabla times F = (3y^2 + x z^2 - 2x y z) i + (-2x - y z^2) j + (y z^2 + x) k

Exercícios relacionados

Encontre o gradiente do campo escalar, em coordenadas cilíndricas, varphi=r^3 sen(theta)+ r^2 sen(theta)^2 cos (phi)
Encontre o gradiente do campo escalar, em coordenadas retangulares varphi=x^2+x^3+x z+ x z y
Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas cilíndricas, do vetor:
F=-(r sen(theta)+r^2 cos (varphi)) r+(r^3 sen(theta) cos (varphi)) theta+(r sen(theta)^2 cos (varphi)^2) phi
Mostre que nabla cdot r=3 e que nabla times r=0.