Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas retangulares, do vetor
i
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o divergente e o rotacional de um campo vetorial dado em coordenadas retangulares. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas que definem o divergente e o rotacional em coordenadas cartesianas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são divergente e rotacional:
-
Divergente: Mede a “taxa de saída” do campo vetorial em um ponto. É uma quantidade escalar.A fórmula é:
-
Rotacional: Mede a “giro” ou a rotação do campo vetorial em torno de um ponto. É um vetor.A fórmula é:
Agora, vamos identificar as componentes do vetor
:
Passo 3
Vamos calcular o divergente primeiro usando a fórmula mencionada:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
: -
: -
:
Agora, somando todas as derivadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional usando a fórmula:
Vamos calcular cada termo:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Agora, juntando tudo:
Resposta
O divergente de
é:
E o rotacional de
é:
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Mostre que
e que
.