Mostre que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o divergente do vetor posição
é igual a 3 e que o rotor (ou rotacional) de
é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição
. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
onde
,
e
são as coordenadas do ponto no espaço, e
,
,
são os vetores unitários nas direções dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o divergente de um campo vetorial. O divergente, denotado por
, mede a “taxa de saída” de um campo vetorial em um ponto. Para um vetor
, o divergente é calculado como:
Passo 4
Aplicando essa definição ao nosso vetor posição
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Agora, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, denotado por
. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para um vetor
, o rotacional é dado por:
Passo 6
Aplicando isso ao nosso vetor posição
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Resposta
Portanto, mostramos que
e que
.