Mostre que nabla cdot r=3 e que nabla times r=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o divergente do vetor posição r é igual a 3 e que o rotor (ou rotacional) de r é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição r. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
r = x,i + y,j + z,k
onde x, y e z são as coordenadas do ponto no espaço, e i, j, k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o divergente de um campo vetorial. O divergente, denotado por nabla cdot F, mede a “taxa de saída” de um campo vetorial em um ponto. Para um vetor F = Fx,i + Fy,j + Fz,k, o divergente é calculado como:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 4

Aplicando essa definição ao nosso vetor posição r = x,i + y,j + z,k, temos:
nabla cdot r = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial x = 1, partial ypartial y = 1, partial zpartial z = 1
Então:
nabla cdot r = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Agora, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, denotado por nabla times F. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para um vetor F = Fx,i + Fy,j + Fz,k, o rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k

Passo 6

Aplicando isso ao nosso vetor posição r = x,i + y,j + z,k:
nabla times r = ( partial zpartial y - partial ypartial z )i + ( partial xpartial z - partial zpartial x )j + ( partial ypartial x - partial xpartial y )k
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial y = 0, partial ypartial z = 0, partial xpartial z = 0, partial zpartial x = 0, partial ypartial x = 0, partial xpartial y = 0
Então:
nabla times r = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (0 - 0)k = 0

Resposta

Portanto, mostramos que nabla cdot r = 3 e que nabla times r = 0.

Exercícios relacionados

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Dois espectadores de uma partida de futebol no estádio de Montjuic veem e depois ouvem uma bola ser chutada no campo. O tempo de retardo para o espectador A é 0,23 s e para o espectador B é 0,12 s. As linhas de visada dos dois espectadores até o jogador que chutou a bola fazem um ângulo de 90^circ. A que distância do jogador está (a) o espectador A e (b) o espectador B ? © Qual é a distância entre os dois espectadores?