Encontre o gradiente do campo escalar, em coordenadas cilíndricas, varphi=r^3 sen(theta)+ r^2 sen(theta)^2 cos (phi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o gradiente do campo escalar dado por nas coordenadas cilíndricas. O gradiente é uma ferramenta que nos mostra a direção e a intensidade da maior variação da função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o gradiente em coordenadas cilíndricas e depois aplicar as derivadas parciais na função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas nabla varphi = partial varphipartial r er + 1r partial varphipartial phi ephi + partial varphipartial z ez . A fórmula geral é:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente. Note que há um fator na derivada em para ajustar as unidades.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial da função partial varphipartial r = partialpartial r ( r^3 sen(theta) + r^2 sen(theta)^2 cos (phi) ) = 3r^2 sen(theta) + 2r sen(theta)^2 cos (phi) :
  1. Derivada em relação a partial varphipartial phi = partialpartial phi ( r^3 sen(theta) + r^2 sen(theta)^2 cos (phi) ) = -r^2 sen(theta)^2 sen (phi) :
  1. Derivada em relação a partial varphipartial z = 0 :
  1. Derivada em relação a :
Observando a função , percebemos que ela não depende de . Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do gradiente:
Simplificando:

Resposta

O gradiente do campo escalar é dado por:

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Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas cilíndricas, do vetor:
F=-(r sen(theta)+r^2 cos (varphi)) r+(r^3 sen(theta) cos (varphi)) theta+(r sen(theta)^2 cos (varphi)^2) phi