Encontre o gradiente do campo escalar, em coordenadas cilíndricas,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o gradiente do campo escalar dado por nas coordenadas cilíndricas. O gradiente é uma ferramenta que nos mostra a direção e a intensidade da maior variação da função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o gradiente em coordenadas cilíndricas e depois aplicar as derivadas parciais na função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas
. A fórmula geral é:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções
,
e
, respectivamente. Note que há um fator
na derivada em
para ajustar as unidades.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial da função
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Observando a função
, percebemos que ela não depende de
. Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do gradiente:
Simplificando:
Resposta
O gradiente do campo escalar é dado por:
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Obtenha o produto escalar e o produto vetorial entre os vetores
e
3 k
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i
Encontre o divergente e o rotacional, em coordenadas cilíndricas, do vetor: