Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o **domínio de existência** da função . Isso significa descobrir todos os valores de para os quais essa função está definida. Para fazer isso, vamos usar conceitos de **funções de raiz quadrada** e **inequações**.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só está definida para valores **não negativos**. Ou seja, o que está dentro da raiz ( ) precisa ser maior ou igual a zero:
Então, nosso objetivo aqui é resolver essa inequação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.
Passo 3
Para resolver a inequação quadrática , vamos primeiro encontrar as **raízes** da equação . Isso vai nos ajudar a determinar onde a expressão muda de sinal.
Vamos fatorar a equação:
As soluções são e . Essas são as **raízes** da função quadrática.
Passo 4
Agora que encontramos as raízes, podemos dividir a linha dos números em **intervalos** para testar onde a expressão é positiva ou negativa. Os intervalos são:
1.
2.
3.
Vamos testar um número em cada intervalo:
- Para , vamos testar :
- Para , vamos testar :
- Para , vamos testar :
Passo 5
Analisando os resultados dos testes:
- : (positivo)
- : (negativo)
- : (positivo)
Como queremos que a expressão dentro da raiz seja **maior ou igual a zero**, os intervalos que satisfazem isso são e .
Resposta
O domínio de existência da função é:
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