Encontre o domínio da função real f dada por
f(x) = ln((1 + raiz(1 - x^2)) / x)
[Obs. ln(x) = log_e(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função real . Isso envolve entender onde essa função está bem definida, ou seja, para quais valores de a expressão dentro do logaritmo é válida e o logaritmo existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural só existe quando . Então, a expressão dentro do precisa ser maior que zero:

Passo 3

Além disso, dentro dessa expressão, temos uma raiz quadrada . Para que essa raiz seja um número real, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos voltar à desigualdade principal:
Para que essa fração seja positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Sabemos que é sempre positivo, já que e estamos somando 1.

Passo 5

Então, a positividade da fração depende apenas do denominador . Como o numerador é sempre positivo, o denominador também precisa ser positivo para que a fração seja positiva:

Passo 6

Lembrando da restrição que encontramos no Passo 3 ( ) e agora sabemos que , combinamos essas duas condições:

Resposta

O domínio da função é pertencente ao intervalo aberto de 0 até 1, ou seja:

Exercícios relacionados