Encontre o domínio da função real
dada por
[Obs.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função real
. Isso envolve entender onde essa função está bem definida, ou seja, para quais valores de
a expressão dentro do logaritmo é válida e o logaritmo existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural
só existe quando
. Então, a expressão dentro do
precisa ser maior que zero:
Passo 3
Além disso, dentro dessa expressão, temos uma raiz quadrada
. Para que essa raiz seja um número real, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos voltar à desigualdade principal:
Para que essa fração seja positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Sabemos que
é sempre positivo, já que
e estamos somando 1.
Passo 5
Então, a positividade da fração depende apenas do denominador
. Como o numerador é sempre positivo, o denominador também precisa ser positivo para que a fração seja positiva:
Passo 6
Lembrando da restrição que encontramos no Passo 3 (
) e agora sabemos que
, combinamos essas duas condições:
Resposta
O domínio da função
é
pertencente ao intervalo aberto de 0 até 1, ou seja: