Seja
f(x) = { x + 1 ; se x < 2, 1 ; se x ≥ 2 }
f é derivável em 2? Por quê ?

Passo 1

Vamos resolver o problema que pergunta se a função é derivável em . A função é composta por duas partes:
Para determinar se é derivável em 2, vamos precisar verificar duas coisas principais: continuidade da função em 2 e a existência das derivadas à esquerda e à direita desse ponto.

Passo 2

Primeiramente, precisamos verificar se a função é contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Agora, o limite pela direita ( ):
E o valor da função em é:

Passo 4

Comparando os limites:
Como os limites laterais são diferentes, a função não é contínua em .

Passo 5

Para uma função ser derivável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto. Já que não é contínua em , não é derivável em .

Resposta

A função não é derivável em porque ela não é contínua nesse ponto, já que os limites laterais são diferentes.

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