Dadas a equações paramétricas de uma curva
encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico desse par de equações e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver aqui. Temos as equações paramétricas de uma curva:
O objetivo é encontrar as retas tangentes horizontais e verticais dessa curva e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas em parametrizações para determinar onde a inclinação da curva é zero (retas horizontais) ou indefinida (retas verticais).
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação ao parâmetro
. Isso nos ajudará a calcular a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é dada por:
Passo 4
Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a derivada
seja igual a zero. Ou seja:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Passo 5
Com
, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva substituindo na equação paramétrica.
Para
:
Para
:
Então, o ponto é
. A reta tangente horizontal passa por esse ponto e tem inclinação zero, ou seja, é uma reta paralela ao eixo
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as retas tangentes verticais. Para isso, a derivada
deve ser indefinida, o que acontece quando
.
Então,
Passo 7
Com
, encontramos as coordenadas do ponto na curva:
Para
:
Para
:
Portanto, o ponto é
. A reta tangente vertical passa por esse ponto e é uma reta paralela ao eixo
:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico das equações paramétricas dadas são:
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical:
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com valores vetoriais e suas equações paramétricas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
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