Encontre o domínio e a imagem das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função
. Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis, que é um tópico de matemática aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que determina o domínio e a imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
que tornam a função válida, ou seja, onde a função está definida. No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Para que uma fração seja válida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida na matemática. Então, precisamos garantir que
.
Passo 4
Portanto, o domínio da função
é todos os pares
tais que
. Em termos de conjunto, fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função
. Ou seja, todos os valores que
pode assumir quando
varia dentro do domínio.
Passo 6
Vamos analisar a expressão
. Para encontrar a imagem, queremos saber quais valores
podem ser obtidos por
. Então, vamos resolver:
Passo 7
Resolvendo para
:
Isso mostra que para qualquer valor de
diferente de zero, podemos encontrar valores de
e
que satisfazem a equação. Porém, se
, a equação não tem solução, pois não podemos dividir por zero.
Passo 8
Assim, a imagem da função
é todos os números reais exceto zero. Em conjunto, fica:
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.
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Se
, encontre
Seja
.
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Determine o domínio de
Se
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