Encontre o domínio e a imagem das funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função . Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis, que é um tópico de matemática aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que determina o domínio e a imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares que tornam a função válida, ou seja, onde a função está definida. No nosso caso, a função é .

Passo 3

Para que uma fração seja válida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida na matemática. Então, precisamos garantir que .

Passo 4

Portanto, o domínio da função é todos os pares tais que . Em termos de conjunto, fica assim:
í

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função . Ou seja, todos os valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.

Passo 6

Vamos analisar a expressão . Para encontrar a imagem, queremos saber quais valores podem ser obtidos por . Então, vamos resolver:

Passo 7

Resolvendo para :
Isso mostra que para qualquer valor de diferente de zero, podemos encontrar valores de e que satisfazem a equação. Porém, se , a equação não tem solução, pois não podemos dividir por zero.

Passo 8

Assim, a imagem da função é todos os números reais exceto zero. Em conjunto, fica:

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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