Encontre o domínio, represente o domínio no plano e encontre a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar o domínio, representar esse domínio no plano cartesiano e determinar a imagem da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de duas variáveis, focando em onde a função está definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
Na função
, o denominador
não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, precisamos encontrar todos os
que satisfazem
.
Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero porque o quadrado de qualquer número é positivo ou zero. A soma
será igual a zero apenas quando
e
simultaneamente.
Portanto, o domínio da função são todos os pares
reais, exceto o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos representar o domínio no plano cartesiano. Como o domínio inclui todos os pontos
no plano, menos o ponto
, a representação gráfica será todo o plano com a origem removida.
Imagine um plano com todos os pontos preenchidos, exceto o ponto central onde os eixos se encontram.

Imagem ilustrativa do plano cartesiano com a origem excluída.
Passo 4
Finalmente, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores que
pode assumir.
Observando a função
:
- O denominador
é sempre positivo (exceto em , que não está no domínio). - Conforme
aumenta (quando e se afastam de zero), o valor de diminui. - Quando
se aproxima de zero (quando e se aproximam de zero), tende ao infinito.
Portanto,
pode assumir todas as valores reais positivos, ou seja,
.
Resposta
O domínio da função é todos os pares
em
exceto
. A imagem da função é
maior que zero, ou seja,
.