Encontre o domínio, represente o domínio no plano e encontre a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar o domínio, representar esse domínio no plano cartesiano e determinar a imagem da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de duas variáveis, focando em onde a função está definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
Na função , o denominador não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, precisamos encontrar todos os que satisfazem .
Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero porque o quadrado de qualquer número é positivo ou zero. A soma será igual a zero apenas quando e simultaneamente.
Portanto, o domínio da função são todos os pares reais, exceto o ponto .
Passo 3
Agora, vamos representar o domínio no plano cartesiano. Como o domínio inclui todos os pontos no plano, menos o ponto , a representação gráfica será todo o plano com a origem removida.
Imagine um plano com todos os pontos preenchidos, exceto o ponto central onde os eixos se encontram.
Imagem ilustrativa do plano cartesiano com a origem excluída.
Passo 4
Finalmente, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores que pode assumir.
Observando a função :
O denominador é sempre positivo (exceto em , que não está no domínio).
Conforme aumenta (quando e se afastam de zero), o valor de diminui.
Quando se aproxima de zero (quando e se aproximam de zero), tende ao infinito.
Portanto, pode assumir todas as valores reais positivos, ou seja, .
Resposta
O domínio da função é todos os pares em exceto . A imagem da função é maior que zero, ou seja, .