Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de e estude seu sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar as curvas de nível da função , determinar a imagem dessa função e estudar o sinal dela. Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis, entender curvas de nível (que são como “contour lines” em mapas) e analisar onde a função é positiva, negativa ou zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, resolvemos a equação .
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa é a equação geral das curvas de nível para diferentes valores de .
Passo 4
Vamos analisar o tipo de curva que essa equação representa. A forma geral de uma equação quadrática em duas variáveis é:
No nosso caso, , , , e .
Passo 5
Para identificar o tipo de conic section, usamos o discriminante .
Calculando:
Como , a equação representa uma hipérbole.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função , ou seja, todos os valores que pode assumir. Como a equação das curvas de nível representa hipérboles para diferentes , e hipérboles existem para qualquer , a imagem será todos os números reais.
Passo 7
Para estudar o sinal da função, observamos onde é positivo, negativo ou zero.
Sabemos que a expressão é sempre positiva ou zero. De fato, podemos reescrever a função completando o quadrado:
Isso mostra que para todos os e , e é igual a zero apenas quando .
Resposta
Desenhando as curvas de nível , observamos que elas são hipérboles para qualquer . A imagem da função é todo o conjunto dos números reais . Quanto ao sinal, é sempre positivo ou zero, sendo zero somente no ponto .