Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar as curvas de nível da função
, determinar a imagem dessa função e estudar o sinal dela. Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis, entender curvas de nível (que são como “contour lines” em mapas) e analisar onde a função é positiva, negativa ou zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja, resolvemos a equação
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa é a equação geral das curvas de nível para diferentes valores de
.
Passo 4
Vamos analisar o tipo de curva que essa equação representa. A forma geral de uma equação quadrática em duas variáveis é:
No nosso caso,
,
,
, e
.
Passo 5
Para identificar o tipo de conic section, usamos o discriminante
.
Calculando:
Como
, a equação representa uma hipérbole.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função
, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Como a equação das curvas de nível representa hipérboles para diferentes
, e hipérboles existem para qualquer
, a imagem será todos os números reais.
Passo 7
Para estudar o sinal da função, observamos onde
é positivo, negativo ou zero.
Sabemos que a expressão
é sempre positiva ou zero. De fato, podemos reescrever a função completando o quadrado:
Isso mostra que
para todos os
e
, e é igual a zero apenas quando
.
Resposta
Desenhando as curvas de nível
, observamos que elas são hipérboles para qualquer
. A imagem da função
é todo o conjunto dos números reais
. Quanto ao sinal,
é sempre positivo ou zero, sendo zero somente no ponto
.