Encontre o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio da função:
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Neste caso, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz quarta seja definida e não negativa, já que raízes pares só aceitam números positivos ou zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração dentro da raiz:
Para que a fração seja definida, o denominador não pode ser zero. Então, vamos encontrar os valores de que tornam o denominador zero.

Passo 3

Resolveremos o denominador:
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
Agora, vamos fatorar:
Portanto, ou . Esses valores não podem estar no domínio porque tornam o denominador zero.

Passo 4

Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quarta seja não negativa:
Primeiro, fatoramos o numerador:
E já temos o denominador fatorado:
Então, a desigualdade fica:
Podemos simplificar o sinal negativo:

Passo 5

Agora, identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal: , , e .
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:

Passo 6

Vamos determinar o sinal da expressão em cada intervalo:
  1. :
    • : Negativo
    • : Negativo
    • : Negativo
    • : Negativo
    • Resultado: ? Não.
  2. :
    • : Negativo
    • : Negativo
    • : Positivo
    • : Negativo
    • Resultado: ? Sim.
  3. :
    • : Negativo
    • : Positivo
    • : Positivo
    • : Negativo
    • Resultado: ? Não.
  4. :
    • : Negativo
    • : Positivo
    • : Positivo
    • : Positivo
    • Resultado: ? Sim.
  5. :
    • : Positivo
    • : Positivo
    • : Positivo
    • : Positivo
    • Resultado: ? Não.

Passo 7

Além disso, precisamos excluir os valores onde o denominador é zero ( e ).
Também verificamos os pontos onde o numerador é zero ( e ):
  • : A expressão fica zero, o que é válido.
  • : A expressão também fica zero, o que é válido.

Resposta

O domínio da função é:
Ou, em intervalo:

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