Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio da função:
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Neste caso, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz quarta seja definida e não negativa, já que raízes pares só aceitam números positivos ou zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fração dentro da raiz:
Para que a fração seja definida, o denominador não pode ser zero. Então, vamos encontrar os valores de
que tornam o denominador zero.
Passo 3
Resolveremos o denominador:
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
Agora, vamos fatorar:
Portanto,
ou
. Esses valores não podem estar no domínio porque tornam o denominador zero.
Passo 4
Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quarta seja não negativa:
Primeiro, fatoramos o numerador:
E já temos o denominador fatorado:
Então, a desigualdade fica:
Podemos simplificar o sinal negativo:
Passo 5
Agora, identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal:
,
,
e
.
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
Passo 6
Vamos determinar o sinal da expressão em cada intervalo:
-
: -
: Negativo -
: Negativo -
: Negativo -
: Negativo - Resultado:
→ ? Não.
-
-
: -
: Negativo -
: Negativo -
: Positivo -
: Negativo - Resultado:
→ ? Sim.
-
-
: -
: Negativo -
: Positivo -
: Positivo -
: Negativo - Resultado:
→ ? Não.
-
-
: -
: Negativo -
: Positivo -
: Positivo -
: Positivo - Resultado:
→ ? Sim.
-
-
: -
: Positivo -
: Positivo -
: Positivo -
: Positivo - Resultado:
→ ? Não.
-
Passo 7
Além disso, precisamos excluir os valores onde o denominador é zero (
e
).
Também verificamos os pontos onde o numerador é zero (
e
):
-
: A expressão fica zero, o que é válido. -
: A expressão também fica zero, o que é válido.
Resposta
O domínio da função é:
Ou, em intervalo:
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Considere a seguinte função
. Calcule
nos seguintes casos:
Calcule a função inversa das seguintes funções e calcule
nos valores indicados:
Faça um esboço do gráfico das seguintes funções.
Calcule a função inversa das seguintes funções e calcule
nos valores indicados: