Encontre o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Nesse caso, como temos uma raiz quadrada, precisamos garantir que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero. Então, vamos precisar resolver a inequação .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz: . Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem essa expressão ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de números negativos não é definida nos números reais.

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Para facilitar, podemos fatorar a expressão:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático :
Procuramos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1.
Então:
Portanto, a expressão fatorada fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos determinados pelas raízes da equação . As raízes são , e . Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou negativa.

Passo 5

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo:
  1. Para (por exemplo, ):
    (Negativo)
  2. Para (por exemplo, ):
    (Positivo)
  3. Para (por exemplo, ):
    (Negativo)
  4. Para (por exemplo, ):
    (Positivo)

Passo 6

Com base nos testes, a expressão é maior ou igual a zero quando:
Portanto, o domínio da função é a união desses intervalos.

Resposta

O domínio da função é .

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