Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nesse caso, como temos uma raiz quadrada, precisamos garantir que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero. Então, vamos precisar resolver a inequação
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz:
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem essa expressão ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de números negativos não é definida nos números reais.
Passo 3
Vamos resolver a inequação
. Para facilitar, podemos fatorar a expressão:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
:
Procuramos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1.
Então:
Portanto, a expressão fatorada fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar os intervalos determinados pelas raízes da equação
. As raízes são
,
e
. Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou negativa.
Passo 5
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo:
-
Para
(por exemplo, ): (Negativo) -
Para
(por exemplo, ): (Positivo) -
Para
(por exemplo, ): (Negativo) -
Para
(por exemplo, ): (Positivo)
Passo 6
Com base nos testes, a expressão
é maior ou igual a zero quando:
Portanto, o domínio da função
é a união desses intervalos.
Resposta
O domínio da função é
.
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