Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar duas soluções em série de potências para a equação diferencial dada em torno de
. A equação é:
Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos utilizar a método de série de potências, que é uma técnica para encontrar soluções expressas como séries infinitas em torno de um ponto ordinário, nesse caso,
.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em zero:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Fazemos mudanças de variável:
Para o primeiro termo, substituímos
:
Para o segundo termo, multiplicamos
pela soma:
E o terceiro termo já está com o expoente
:
Agora, reescrevemos todas as séries com
ou
começando de 0:
Passo 6
Agora, combinamos todas as somas:
Para essa equação ser válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos para
:
Essa é a fórmula de recorrência que nos permite calcular cada coeficiente
em termos de
.
Passo 8
Para determinar as soluções, precisamos definir os valores iniciais. Geralmente, escolhemos
e
como valores arbitrários, correspondendo às condições iniciais da solução geral.
Primeira solução:
Vamos definir
e
. Isso nos dá uma solução par.
Calculando os primeiros coeficientes usando a fórmula de recorrência:
E assim por diante. A solução fica:
Segunda solução:
Agora, definimos
e
para obter uma solução ímpar.
Calculando os primeiros coeficientes:
E assim por diante. A solução fica:
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas a seguir:
Resolva as EDO
Para a função
existem as derivadas parciais
e
no ponto
?
Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
Deduza a equação diferencial que governa este processo.