Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar duas soluções em série de potências para a equação diferencial dada em torno de . A equação é:
Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos utilizar a método de série de potências, que é uma técnica para encontrar soluções expressas como séries infinitas em torno de um ponto ordinário, nesse caso, .

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em zero:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de . Fazemos mudanças de variável:
Para o primeiro termo, substituímos :
Para o segundo termo, multiplicamos pela soma:
E o terceiro termo já está com o expoente :
Agora, reescrevemos todas as séries com ou começando de 0:

Passo 6

Agora, combinamos todas as somas:
Para essa equação ser válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Simplificando:

Passo 7

Resolvemos para :
Essa é a fórmula de recorrência que nos permite calcular cada coeficiente em termos de .

Passo 8

Para determinar as soluções, precisamos definir os valores iniciais. Geralmente, escolhemos e como valores arbitrários, correspondendo às condições iniciais da solução geral.
Primeira solução:
Vamos definir e . Isso nos dá uma solução par.
Calculando os primeiros coeficientes usando a fórmula de recorrência:
E assim por diante. A solução fica:
Segunda solução:
Agora, definimos e para obter uma solução ímpar.
Calculando os primeiros coeficientes:
E assim por diante. A solução fica:

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de são:

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