Para a função
f(x, y)=cc x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
existem as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y no ponto (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto é ou não . O objetivo aqui é descobrir se as derivadas parciais de em relação a e existem no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a f(h, 0) = h^3h^2 + 0^2 = h^3h^2 = h no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 . A definição da derivada parcial de em relação a no ponto é:
Vamos calcular . Quando , a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a existe e vale 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a f(0, k) = 0^30^2 + k^2 = 0k^2 = 0 no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0 = 0 . A definição é:
Vamos calcular . Quando , a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a existe e vale 0.

Resposta

Sim, as derivadas parciais e existem no ponto , sendo e .

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