Para a função
existem as derivadas parciais e no ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto é ou não . O objetivo aqui é descobrir se as derivadas parciais de em relação a e existem no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A definição da derivada parcial de em relação a no ponto é:
Vamos calcular . Quando , a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a existe e vale 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . A definição é:
Vamos calcular . Quando , a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a existe e vale 0.

Resposta

Sim, as derivadas parciais e existem no ponto , sendo e .

Exercícios relacionados

Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .
Resolva os problemas a seguir:
Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante , o número de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .