Para a função
existem as derivadas parciais
e
no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto
é ou não
. O objetivo aqui é descobrir se as derivadas parciais de
em relação a
e
existem no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição da derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
Vamos calcular
. Quando
, a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a
existe e vale 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição é:
Vamos calcular
. Quando
, a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a
existe e vale 0.
Resposta
Sim, as derivadas parciais
e
existem no ponto
, sendo
e
.
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Resolva os problemas a seguir:
Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
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