Para a função
existem as derivadas parciais
e
no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto
é ou não
. O objetivo aqui é descobrir se as derivadas parciais de
em relação a
e
existem no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição da derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
Vamos calcular
. Quando
, a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a
existe e vale 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição é:
Vamos calcular
. Quando
, a função fica:
Então, substituindo na definição:
Isso mostra que a derivada parcial em relação a
existe e vale 0.
Resposta
Sim, as derivadas parciais
e
existem no ponto
, sendo
e
.