Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante , o número de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado nos diz e identificar o conteúdo que vamos precisar para resolver o exercício.
Resumo do Enunciado:
  • Temos uma comunidade de 15.000 pessoas.
  • No tempo inicial :
    • Pessoas infectadas:
    • Taxa de crescimento das infecções: pessoas por dia.
  • A taxa de crescimento depende da probabilidade de um encontro entre uma pessoa saudável e uma doente. Matematicamente, isso significa que é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis.
Conteúdo da Matéria:
  • Equações diferenciais.
  • Modelos de propagação de doenças, especificamente modelos de crescimento populacional.
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de proporcionalidade.
  • Saber como expressar proporcionalidade em termos de igualdades com uma constante de proporcionalidade.
  • Conhecer a formulação de equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número de pessoas saudáveis na comunidade. Como a população total é de 15.000 pessoas e representa as infectadas, o número de saudáveis é .
Então, temos:
á

Passo 3

O enunciado nos diz que a taxa de crescimento das infecções é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis. Em termos matemáticos, isso pode ser expresso como:
A palavra “proporcional” significa que existe uma constante de proporcionalidade tal que:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor da constante . Para isso, usamos as informações dadas no tempo inicial :
Sabemos que:
Substituímos esses valores na equação:
Agora, isolamos :

Passo 5

Com o valor de determinado, podemos escrever a equação diferencial completa que governa o processo de propagação da doença na comunidade:

Resposta

A equação diferencial que descreve a propagação da doença na comunidade é:

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Se , entano vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.