Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante t = 0, o número N(t) de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento N'(t) em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que N'(t) é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado nos diz e identificar o conteúdo que vamos precisar para resolver o exercício.
Resumo do Enunciado:
  • Temos uma comunidade de 15.000 pessoas.
  • No tempo inicial :
    • Pessoas infectadas:
    • Taxa de crescimento das infecções: pessoas por dia.
  • A taxa de crescimento depende da probabilidade de um encontro entre uma pessoa saudável e uma doente. Matematicamente, isso significa que é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis.
Conteúdo da Matéria:
  • Equações diferenciais.
  • Modelos de propagação de doenças, especificamente modelos de crescimento populacional.
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de proporcionalidade.
  • Saber como expressar proporcionalidade em termos de igualdades com uma constante de proporcionalidade.
  • Conhecer a formulação de equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número de pessoas saudáveis na comunidade. Como a população total é de 15.000 pessoas e representa as infectadas, o número de saudáveis é .
Então, temos:
á

Passo 3

O enunciado nos diz que a taxa de crescimento das infecções é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis. Em termos matemáticos, isso pode ser expresso como:
A palavra “proporcional” significa que existe uma constante de proporcionalidade tal que:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor da constante . Para isso, usamos as informações dadas no tempo inicial :
Sabemos que:
Substituímos esses valores na equação:
Agora, isolamos :

Passo 5

Com o valor de determinado, podemos escrever a equação diferencial completa que governa o processo de propagação da doença na comunidade:

Resposta

A equação diferencial que descreve a propagação da doença na comunidade é:

Exercícios relacionados