Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado nos diz e identificar o conteúdo que vamos precisar para resolver o exercício.
Resumo do Enunciado:
- Temos uma comunidade de 15.000 pessoas.
- No tempo inicial
: - Pessoas infectadas:
- Taxa de crescimento das infecções:
pessoas por dia.
- Pessoas infectadas:
- A taxa de crescimento
depende da probabilidade de um encontro entre uma pessoa saudável e uma doente. Matematicamente, isso significa que é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis.
Conteúdo da Matéria:
- Equações diferenciais.
- Modelos de propagação de doenças, especificamente modelos de crescimento populacional.
O que vamos precisar:
- Entender o conceito de proporcionalidade.
- Saber como expressar proporcionalidade em termos de igualdades com uma constante de proporcionalidade.
- Conhecer a formulação de equações diferenciais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o número de pessoas saudáveis na comunidade. Como a população total é de 15.000 pessoas e
representa as infectadas, o número de saudáveis é
.
Então, temos:
Passo 3
O enunciado nos diz que a taxa de crescimento das infecções
é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis. Em termos matemáticos, isso pode ser expresso como:
A palavra “proporcional” significa que existe uma constante de proporcionalidade
tal que:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o valor da constante
. Para isso, usamos as informações dadas no tempo inicial
:
Sabemos que:
Substituímos esses valores na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Com o valor de
determinado, podemos escrever a equação diferencial completa que governa o processo de propagação da doença na comunidade:
Resposta
A equação diferencial que descreve a propagação da doença na comunidade é:
Exercícios relacionados
Para a função
existem as derivadas parciais
e
no ponto
?
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Se
, entano
vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
d. 2 z
e.
a.
b.
c.