Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa EDO. A equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, temos:
Isso nos mostra que a equação é homogênea, já que
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a EDO para facilitar a integração. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular esse fator.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Esse fator será usado para multiplicar toda a EDO e torná-la exata.
Passo 5
Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 6
Reescrevemos a equação para reconhecer a derivada do produto:
Agora, integremos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
isolando-o na equação:
Essa é a solução geral da EDO dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.