Resolva as EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada: . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa EDO. A equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, temos:
Isso nos mostra que a equação é homogênea, já que .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a EDO para facilitar a integração. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular esse fator.

Passo 4

Calculando o fator integrante:
Esse fator será usado para multiplicar toda a EDO e torná-la exata.

Passo 5

Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 6

Reescrevemos a equação para reconhecer a derivada do produto:
Agora, integremos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para isolando-o na equação:
Essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas a seguir:
A função
é diferenciável origem?
Resolva os problemas a seguir:
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .