Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função

é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem, e nossa função solução tem dois termos com constantes e , indicando que possivelmente são soluções da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de .
A derivada primeira é:

Calculando cada termo:
-
-
-
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda :

Calculando cada termo:
-
-
-
-
Então,

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na EDO:
Substituindo cada termo:

Passo 5

Vamos somar todos os termos substituídos:
Simplificando:
  • Os termos e se cancelam.
  • Os termos também se cancelam.
  • Os termos e resultam em .
  • Os termos simplificam para .
Então, temos:

Resposta

Portanto, conferimos que

é satisfeita pela função
Logo, a função dada é realmente a solução geral da EDO apresentada.

Exercícios relacionados

Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem: .
Encontre edo cuja solução geral é dada por
Encontre edo cuja solução geral é dada por