Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem, e nossa função solução tem dois termos com constantes
e
, indicando que possivelmente são soluções da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de
.
A derivada primeira
é:
Calculando cada termo:
-
-
-
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada segunda
:
Calculando cada termo:
-
-
-
-
Então,
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na EDO:
Substituindo cada termo:
Passo 5
Vamos somar todos os termos substituídos:
Simplificando:
- Os termos
e se cancelam. - Os termos
também se cancelam. - Os termos
e resultam em . - Os termos
simplificam para .
Então, temos:
Resposta
Portanto, conferimos que
é satisfeita pela função
Logo, a função dada é realmente a solução geral da EDO apresentada.
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.
Encontre edo cuja solução geral é dada por
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