Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma superfície nas coordenadas cartesianas a partir da equação dada nas coordenadas cilíndricas:
. Isso envolve converter de coordenadas cilíndricas para cartesianas usando um pouco de geometria e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como são as relações entre as coordenadas cilíndricas
e as cartesianas
:
Também sabemos que
. Isso vai nos ajudar na conversão.
Passo 3
A equação dada é
. Nosso objetivo é expressar tudo em termos de
e
. Vamos começar substituindo
por
, já que
.
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Lembrando que
:
Passo 5
Ainda temos
na equação, que queremos eliminar. Vamos substituir
por
:
Passo 6
Para eliminar a raiz quadrada, vamos isolar
:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:
Passo 7
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando e reorganizando os termos:
Resposta
A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:
Exercícios relacionados
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
Ache o limite indicado, se ele existir.
d)R(t)=
d)R(t)=
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.