Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
r = 3 + 2 cos(θ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma superfície nas coordenadas cartesianas a partir da equação dada nas coordenadas cilíndricas: . Isso envolve converter de coordenadas cilíndricas para cartesianas usando um pouco de geometria e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como são as relações entre as coordenadas cilíndricas e as cartesianas :
Também sabemos que . Isso vai nos ajudar na conversão.

Passo 3

A equação dada é . Nosso objetivo é expressar tudo em termos de e . Vamos começar substituindo por , já que .
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Lembrando que :

Passo 5

Ainda temos na equação, que queremos eliminar. Vamos substituir por :

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada, vamos isolar :
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:

Passo 7

Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando e reorganizando os termos:

Resposta

A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:

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d)R(t)= (t^2-2 t-3)t-3 i+(t^2-5 t+6)t-3 j, lim t 3 R(t)
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