Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
x^2 + y^2 = 2z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da superfície usando coordenadas esféricas. Isso significa que vamos converter a equação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na equação original usando as fórmulas de conversão:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação passo a passo. Primeiro, elevando ao quadrado os termos:
Perceba que está presente em ambos os termos do lado esquerdo, então podemos fatorar:

Passo 4

Sabemos que (identidade trigonométrica fundamental). Então, a equação fica:
Agora, vamos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 5

Para isolar , basta dividir ambos os lados por :
Isso pode ser reescrito usando as funções trigonométricas cotangente e cosecante:

Resposta

A equação da superfície em coordenadas esféricas é:
ou, de forma equivalente,

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