Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da superfície usando coordenadas esféricas. Isso significa que vamos converter a equação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir e na equação original usando as fórmulas de conversão:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação passo a passo. Primeiro, elevando ao quadrado os termos:
Perceba que está presente em ambos os termos do lado esquerdo, então podemos fatorar:
Passo 4
Sabemos que (identidade trigonométrica fundamental). Então, a equação fica:
Agora, vamos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Passo 5
Para isolar , basta dividir ambos os lados por :
Isso pode ser reescrito usando as funções trigonométricas cotangente e cosecante:
Resposta
A equação da superfície em coordenadas esféricas é: