Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas cartesianas:
. O objetivo é transformar essa equação para as coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e aplicar essa transformação na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem, -
: o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal), -
: o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
As relações entre as coordenadas cartesianas
e as esféricas
são:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas relações na equação dada. A equação original é:
Substituindo
pelas expressões em coordenadas esféricas:
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Primeiro, observe que
simplifica para
porque:
Então, a equação fica:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
(que é apenas a origem) ou
.
Resposta
A equação da superfície em coordenadas esféricas é:
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.
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Ache
e
.