Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
x^2 + y^2 + z^2 - 8x = 0

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas cartesianas: . O objetivo é transformar essa equação para as coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e aplicar essa transformação na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores:
  • : a distância do ponto até a origem,
  • : o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal),
  • : o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
As relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas relações na equação dada. A equação original é:
Substituindo pelas expressões em coordenadas esféricas:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, observe que simplifica para porque:
Então, a equação fica:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções possíveis: (que é apenas a origem) ou .

Resposta

A equação da superfície em coordenadas esféricas é:

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x^2 + y^2 = z^2
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