Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
x^2 + y^2 = z^2

Passo 1

Vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação de uma superfície no sistema de coordenadas cartesianas: . Nosso objetivo é reescrever essa equação em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar saber como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, os pontos são descritos por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo que nas coordenadas cartesianas.
Sabemos que está relacionado com e através das fórmulas:

Passo 3

Vamos substituir por na equação original. Isso porque:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, para deixar a equação mais simples, podemos resolver para :
Isso significa que é igual a ou a , representando duas superfícies diferentes que se abrem acima e abaixo do plano .

Resposta

A equação em coordenadas cilíndricas é:
ou, equivalentemente,

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