Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da curva usando o comprimento de arco
como parâmetro, onde
é medido a partir do ponto onde
. As equações que nos deram são:
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente integração para encontrar o comprimento de arco e depois reescrever as equações em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco
de uma curva paramétrica é calculado pela fórmula:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora que temos
, podemos resolver para
em termos de
:
Isso nos permite reescrever as equações
e
em termos de
.
Passo 6
Substituindo
nas equações originais:
Resposta
As equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco
são:
Exercícios relacionados
Ache
e
.
Ache o comprimento do arco dado.
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.