Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = 2(cos(t) + t sen(t)), y = 2(sen(t) - t cos(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da curva usando o comprimento de arco como parâmetro, onde é medido a partir do ponto onde . As equações que nos deram são:
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente integração para encontrar o comprimento de arco e depois reescrever as equações em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco de uma curva paramétrica é calculado pela fórmula:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora que temos , podemos resolver para em termos de :
Isso nos permite reescrever as equações e em termos de .

Passo 6

Substituindo nas equações originais:

Resposta

As equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco são:

Exercícios relacionados

Ache T(t) e N(t).
R(t) = sen^3(t) * i + cos^3(t) * j
Ache o comprimento do arco dado.
b) x = t^3, y = 3t^2, -2 <= t <= 0
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
x^2 + y^2 = z^2
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
x^2 + y^2 + z^2 - 8x = 0