Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que transformar a equação da superfície
para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como as coordenadas cartesianas (
) se relacionam com as coordenadas esféricas (
). Vamos precisar das fórmulas de conversão entre esses sistemas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas esféricas para cartesianas:
Aqui,
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, e
é o ângulo a partir do eixo z.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação dada
pelas expressões em termos de
,
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Essa é a equação da superfície em coordenadas esféricas.
Resposta
A equação da superfície em coordenadas esféricas é
.
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e os escalares
e
.
b)
b)
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