Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
rho = 2 t g theta

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente encontrar a equação de uma superfície usando coordenadas cartesianas, mas a equação inicial tá em coordenadas esféricas. A equação que a gente tem é . Então, vamos precisar saber como converter coordenadas esféricas para cartesianas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações entre as coordenadas esféricas e as coordenadas cartesianas . As fórmulas de conversão são:
Além disso, sabemos que e .

Passo 3

A equação dada é . Vamos substituir e pelas expressões em coordenadas cartesianas:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 5

Em seguida, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:

Passo 6

Distribuindo o no lado esquerdo da equação:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação trazendo todos os termos para um lado:

Passo 8

Podemos fatorar alguns termos para simplificar ainda mais:

Passo 9

Finalmente, temos a equação da superfície em coordenadas cartesianas:

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas da superfície é

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x^2 + y^2 = 9
Ache o limite indicado, se ele existir.
e) R(t)=e^t+1 i+|t+1| j, lim t -1 R(t)
Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||.
R(t) = (t-1)/(t+1) * i + (t-2)/t * j