Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente encontrar a equação de uma superfície usando coordenadas cartesianas, mas a equação inicial tá em coordenadas esféricas. A equação que a gente tem é
. Então, vamos precisar saber como converter coordenadas esféricas para cartesianas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações entre as coordenadas esféricas
e as coordenadas cartesianas
. As fórmulas de conversão são:
Além disso, sabemos que
e
.
Passo 3
A equação dada é
. Vamos substituir
e
pelas expressões em coordenadas cartesianas:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 5
Em seguida, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Passo 6
Distribuindo o
no lado esquerdo da equação:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação trazendo todos os termos para um lado:
Passo 8
Podemos fatorar alguns termos para simplificar ainda mais:
Passo 9
Finalmente, temos a equação da superfície em coordenadas cartesianas:
Resposta
A equação em coordenadas cartesianas da superfície é
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e)
e)
Ache
e
.