Encontre a equação diferencial para determinar
. Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para
?
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação diferencial que determina
, resolver essa equação e identificar qual das expressões disponíveis corresponde à solução geral. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a função fator integrante usada para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, lembremos que para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
usamos um fator integrante
, que é dado por:
No nosso caso, a variável é
, então adaptamos essa ideia. Vamos assumir que a equação diferencial que
satisfaz tem a forma similar. Portanto, a derivada de
em relação a
será proporcional a
multiplicada por algum termo envolvendo
.
Passo 3
Vamos chamar a equação diferencial de:
onde
é uma função que precisamos determinar. Observando a solução fornecida na questão, que é
, podemos calcular sua derivada para encontrar
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Isso nos mostra que:
Então, a equação diferencial que
satisfaz é:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida por separação de variáveis.
Passo 6
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial para
é: