Encontre a equação diferencial para determinar mu(y). Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para mu(y) ?
quadrado mu(y) = c * e^(2y) / y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação diferencial que determina mu(y), resolver essa equação e identificar qual das expressões disponíveis corresponde à solução geral. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a função fator integrante usada para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
usamos um fator integrante mu(x), que é dado por:
No nosso caso, a variável é y, então adaptamos essa ideia. Vamos assumir que a equação diferencial que mu(y) satisfaz tem a forma similar. Portanto, a derivada de mu(y) em relação a y será proporcional a mu(y) multiplicada por algum termo envolvendo y.

Passo 3

Vamos chamar a equação diferencial de:
onde é uma função que precisamos determinar. Observando a solução fornecida na questão, que é , podemos calcular sua derivada para encontrar .

Passo 4

Calculando a derivada de mu(y):
Isso nos mostra que:
Então, a equação diferencial que mu(y) satisfaz é:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida por separação de variáveis.

Passo 6

Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para resolver para mu:
Podemos reescrever como uma nova constante c, então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial para mu(y) é:

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