Calcule
, onde
é o conjunto
.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla
, onde
é o conjunto definido por
e
. Isso significa que estamos integrando a função
dentro de uma região entre duas esferas de raios 1 e 2, mas apenas na metade de cima (onde
é positivo). Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam trabalhar com esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas
para as coordenadas esféricas
. As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Como
, isso se traduz para
, ou seja,
. A condição
significa que
varia de
a
. E como estamos cobrindo toda a circunferência em torno do eixo
,
vai de
a
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas. A função
se torna
, e o elemento de volume é
. Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, nossa integral agora é:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
:
Podemos resolver essa integral usando substituição. Seja
, então
. Assim:
Avaliado de
a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
O valor da integral tripla é
.