Calcule integral triplaB z d x d y d z, onde B é o conjunto 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4 e z >= 0.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla integral triplaB z , dx , dy , dz, onde B é o conjunto definido por 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4 e z >= 0. Isso significa que estamos integrando a função z dentro de uma região entre duas esferas de raios 1 e 2, mas apenas na metade de cima (onde z é positivo). Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam trabalhar com esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para as coordenadas esféricas (rho, theta, phi). As relações são:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Como 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4, isso se traduz para 1 <= rho^2 <= 4, ou seja, 1 <= rho <= 2. A condição z >= 0 significa que phi varia de 0 a pi2. E como estamos cobrindo toda a circunferência em torno do eixo z, theta vai de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas. A função z se torna rho cosphi, e o elemento de volume é rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta. Portanto, a integral fica:
integral triplaB z , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi2 integral1^2 rho cosphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
rho cosphi cdot rho^2 sinphi = rho^3 cosphi sinphi
Então, nossa integral agora é:
integral0^2pi integral0^pi2 integral1^2 rho^3 cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a rho primeiro:
integral1^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154
Agora, a integral fica:
154 integral0^2pi integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a phi:
integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi
Podemos resolver essa integral usando substituição. Seja u = cosphi, então du = -sinphi , dphi. Assim:
integral cosphi sinphi , dphi = -integral u , du = -u^22 + C = -cos^2phi2 + C
Avaliado de 0 a pi2:
-cos^2(pi2)2 + cos^2(0)2 = -02 + 12 = 12
Agora, a integral fica:
154 cdot 12 integral0^2pi , dtheta = 158 cdot 2pi = 15pi4

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac15pi4.

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