Encontre a equação diferencial para determinar
. Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para
?
a
.
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação diferencial que nos ajude a determinar a função
. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente envolvendo fatores integrantes. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e integrar funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um fator integrante. Em equações diferenciais lineares de primeira ordem, o fator integrante
é uma função que, quando multiplicada pela equação original, facilita a resolução, transformando-a em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 3
A equação diferencial típica de primeira ordem pode ser escrita como:
Para resolver essa equação, a gente multiplica ambos os lados por um fator integrante
que nos ajuda a escrever o lado esquerdo da equação como uma derivada de
.
Passo 4
A condição para que isso funcione é que:
Esse é o fórmula básica para encontrar o fator integrante. Ele depende apenas da função
que está multiplicando o
na equação original.
Passo 5
No nosso caso, vamos supor que a equação já está preparada para aplicar essa técnica. Queremos encontrar
de forma similar. Então, seguindo a lógica, vamos integrar a função que está multiplicando.
Passo 6
Vamos assumir que a equação diferencial que estamos lidando tem a forma onde
precisa ser determinada. Aplicando a fórmula do fator integrante:
Isso nos dá a forma geral do fator integrante baseado na função
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral para encontrar
. Se a integral de
resulta em
, então teremos:
Resposta
A solução geral para a equação diferencial que determina
é: