Encontre a equação diferencial para determinar mu(y). Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para mu(y) ?
a mu(y) = c * e^(-3 * y) / y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação diferencial que nos ajude a determinar a função mu(y). Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente envolvendo fatores integrantes. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e integrar funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um fator integrante. Em equações diferenciais lineares de primeira ordem, o fator integrante mu(y) é uma função que, quando multiplicada pela equação original, facilita a resolução, transformando-a em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 3

A equação diferencial típica de primeira ordem pode ser escrita como:
Para resolver essa equação, a gente multiplica ambos os lados por um fator integrante mu(x) que nos ajuda a escrever o lado esquerdo da equação como uma derivada de .

Passo 4

A condição para que isso funcione é que:
Esse é o fórmula básica para encontrar o fator integrante. Ele depende apenas da função P(x) que está multiplicando o y na equação original.

Passo 5

No nosso caso, vamos supor que a equação já está preparada para aplicar essa técnica. Queremos encontrar mu(y) de forma similar. Então, seguindo a lógica, vamos integrar a função que está multiplicando.

Passo 6

Vamos assumir que a equação diferencial que estamos lidando tem a forma onde mu(y) precisa ser determinada. Aplicando a fórmula do fator integrante:
Isso nos dá a forma geral do fator integrante baseado na função .

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral para encontrar mu(y). Se a integral de resulta em , então teremos:

Resposta

A solução geral para a equação diferencial que determina mu(y) é:

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