Determine a equação reduzida da elipse onde:
O Centro é C=(1,-2), um dos focos é (2,-2) e eixo menor tem comprimento 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação reduzida de uma elipse. Para isso, precisamos saber o centro da elipse, um dos focos e o comprimento do eixo menor. Então, vamos usar esses dados para montar a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse, que é dado por . Em uma elipse, o centro é o ponto médio entre os dois focos e o ponto de interseção dos eixos maior e menor.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância entre o centro e um dos focos. Temos um foco em c = raiz(2 - 1)^2 + (-2 - (-2))^2 = raiz1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 . A distância entre o centro e o foco pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Então, .

Passo 4

O comprimento do eixo menor é dado como 1, o que significa que o semi-eixo menor b = 12 = 0,5 é metade desse valor:

Passo 5

Sabemos que, em uma elipse, existe uma relação entre os semi-eixos a^2 = b^2 + c^2 (semi-eixo maior), a^2 = (0,5)^2 + (1)^2 = 0,25 + 1 = 1,25 (semi-eixo menor) e a distância dos focos ao centro:
Vamos substituir e na fórmula:
Portanto, .

Passo 6

Com os valores de (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 e (x - 1)^2(raiz52)^2 + (y + 2)^2(0,5)^2 = 1 , podemos escrever a equação padrão da elipse com centro em (x - 1)^254 + (y + 2)^214 = 1 :
Substituindo os valores que temos:
Simplificando os denominadores:

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x - 1)^254 + (y + 2)^214 = 1

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