Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente transformar a equação dada na forma canônica da elipse, encontrar o centro, os vértices, os focos e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especialmente os conceitos de equações de segundo grau e transformação de coordenadas.
Passo 2
Vamos começar organizando a equação dada:
Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma canônica da elipse. Para isso, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos agrupar os termos de
e
:
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Passo 4
Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos apropriados dentro dos parênteses. Lembre-se que para completar o quadrado de
, adicionamos
.
Para a parte de
:
Para a parte de
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Expandindo:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Isolando os termos quadráticos:
Para deixar na forma canônica, dividimos ambos os lados por 36:
Passo 7
Agora, a equação está na forma canônica da elipse:
Onde:
-
é o centro da elipse. -
é o semi-eixo maior. -
é o semi-eixo menor.
Comparando com nossa equação:
Passo 8
Centro da elipse:
Vértices:
Como , o eixo maior está no eixo
.
Como
Vértices no eixo
:
Então, os vértices são
e
.
Passo 9
Focos:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Como o eixo maior está no
, os focos estarão em:
Então, os focos são aproximadamente
e
, ou seja,
e
.
Resposta
A equação da elipse na forma canônica é:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e
O gráfico será uma elipse com o eixo maior vertical, centrada em
, estendendo-se 3 unidades acima e abaixo do centro, e 2 unidades para os lados.
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Seja
definida por
Verifique se
é uma forma bilinear.
Determine a equação reduzida da elipse onde:
O Centro é , um dos focos é
e eixo menor tem comprimento 1
O Centro é
Considere
e
.
(d) é uma combinação linear de
e
?
(d)