Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
9 x^2+4 y^2-18 x+24 y+9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente transformar a equação dada na forma canônica da elipse, encontrar o centro, os vértices, os focos e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especialmente os conceitos de equações de segundo grau e transformação de coordenadas.

Passo 2

Vamos começar organizando a equação dada:
9x^2 + 4y^2 - 18x + 24y + 9 = 0
Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma canônica da elipse. Para isso, vamos completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Primeiro, vamos agrupar os termos de 9x^2 - 18x + 4y^2 + 24y = -9 e 9(x^2 - 2x) + 4(y^2 + 6y) = -9 :
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos apropriados dentro dos parênteses. Lembre-se que para completar o quadrado de x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1 , adicionamos y^2 + 6y + 9 - 9 = (y + 3)^2 - 9 .
Para a parte de :
Para a parte de :

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
9[(x - 1)^2 - 1] + 4[(y + 3)^2 - 9] = -9
Expandindo:
9(x - 1)^2 - 9 + 4(y + 3)^2 - 36 = -9
Simplificando os termos constantes:
9(x - 1)^2 + 4(y + 3)^2 - 45 = -9

Passo 6

Isolando os termos quadráticos:
9(x - 1)^2 + 4(y + 3)^2 = 36
Para deixar na forma canônica, dividimos ambos os lados por 36:
(x - 1)^24 + (y + 3)^29 = 1

Passo 7

Agora, a equação está na forma canônica da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • h = 1, k = -3, a^2 = 4 Rightarrow a = 2, b^2 = 9 Rightarrow b = 3 é o centro da elipse.
  • é o semi-eixo maior.
  • é o semi-eixo menor.
Comparando com nossa equação:

Passo 8

Centro da elipse: (h, k pm b) = (1, -3 pm 3)
Vértices:
Como , o eixo maior está no eixo .
Vértices no eixo :
Então, os vértices são e .

Passo 9

Focos:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2 = raiz9 - 4 = raiz5
Como o eixo maior está no (h, k pm c) = (1, -3 pm raiz5) , os focos estarão em:
Então, os focos são aproximadamente e , ou seja, e .

Resposta

A equação da elipse na forma canônica é:
(x - 1)^24 + (y + 3)^29 = 1
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
O gráfico será uma elipse com o eixo maior vertical, centrada em , estendendo-se 3 unidades acima e abaixo do centro, e 2 unidades para os lados.

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Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
4 x^2+y^2-16=0
Seja A: R^3 times R^3 R definida por
A((x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime))=x y^prime+x z^prime-z y^prime+z z^prime
Verifique se A é uma forma bilinear.
Determine a equação reduzida da elipse onde:
O Centro é C=(1,-2), um dos focos é (2,-2) e eixo menor tem comprimento 1
Considere v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0).
(d) v=(1,2,3) é uma combinação linear de v1, v2 e v3 ?