Considere v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0).
(d) v=(1,2,3) é uma combinação linear de v1, v2 e v3 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três vetores: a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v , e . A pergunta é: o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores? Isso pertence ao estudo de combinações lineares na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, precisamos encontrar coeficientes , e tais que:

Passo 2

Vamos montar uma equação para cada componente dos vetores. Isso significa que teremos três equações:
4a + 2b - 2c = 1 (componente x)
2a + b - c = 2 (componente y)
-3a - 2b + 0c = 3 (componente z)
Nossa tarefa agora é resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
-3a - 2b = 3
Podemos rearranjar para expressar -3a = 3 + 2b implies a = -3 + 2b3 = -1 - 2b3 em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos 2(-1 - 2b3) + b - c = 2 na segunda equação:
-2 - 4b3 + b - c = 2
Simplificando:
-2 - b3 - c = 2
Juntando termos semelhantes:
-b3 - c = 4 implies c = -b3 - 4
Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos 4(-1 - 2b3) + 2b - 2(-b3 - 4) = 1 e -4 - 8b3 + 2b + 2b3 + 8 = 1 na primeira equação:
(-4 + 8) + (-8b3 + 2b + 2b3) = 1
Simplificando:
4 + (-6b3) = 1 implies 4 - 2b = 1
Juntando termos semelhantes:
-2b = -3 implies b = 32
Isolando :

Passo 6

Agora que temos a = -1 - 2 cdot 323 = -1 - 33 = -1 - 1 = -2 , vamos encontrar c = -323 - 4 = -12 - 4 = -92 e :

Resposta

Sim, o vetor é uma combinação linear dos vetores e , com os coeficientes , e .

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