Encontre a equação geral do plano cujas esquações paramétricas são
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral do plano que é dado pelas equações paramétricas:
Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto que está no plano e dois vetores que são diretores desse plano. Olhando para as equações paramétricas:
Quando e , temos , , . Então, o ponto está no plano.
O coeficiente de nas equações de , e nos dá o vetor diretor .
O coeficiente de nas equações de , e nos dá o vetor diretor .
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. O vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores e .
Vamos calcular :
Simplificando:
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a forma da equação geral do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para eliminar a fração: