Encontre a equação geral do plano pi cujas esquações paramétricas são
l x=12-2 lambda-mu y=mu z=lambda lambda, mu in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral do plano pi que é dado pelas equações paramétricas:
l x=12-2 lambda-mu y=mu z=lambda lambda, mu in R
Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto que está no plano e dois vetores que são diretores desse plano. Olhando para as equações paramétricas:
  • Quando lambda = 0 e mu = 0, temos x = 12, y = 0, z = 0. Então, o ponto P(12, 0, 0) está no plano.
  • O coeficiente de lambda nas equações de x, y e z nos dá o vetor diretor v = (-2, 0, 1).
  • O coeficiente de mu nas equações de x, y e z nos dá o vetor diretor w = (-1, 1, 0).

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. O vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores v e w.
Vamos calcular v times w:
v times w = i & j & k -2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 = i(0 times 0 - 1 times 1) - j(-2 times 0 - 1 times 1) + k(-2 times 1 - 0 times -1)
Simplificando:
v times w = i(-1) - j(-1) + k(-2) = (-1, 1, -2)
Então, o vetor normal é n = (-1, 1, -2).

Passo 4

Com o vetor normal n = (-1, 1, -2) e o ponto P(12, 0, 0), podemos usar a forma da equação geral do plano:
n cdot (X - P) = 0
Onde X = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano. Substituindo:
(-1)(x - 12) + 1(y - 0) + (-2)(z - 0) = 0
Simplificando:
- x + 12 + y - 2z = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
-2x + 1 + 2y - 4z = 0
Rearranjando:
2x - 2y + 4z = 1

Resposta

A equação geral do plano pi é:
2x - 2y + 4z = 1

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