Dado o plano de equação geral pi: 2 x-y-z=1. Encontre três pontos não-colineares que estejam em pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o plano com a equação geral pi: 2x - y - z = 1. Nosso objetivo aqui é encontrar três pontos que estejam nesse plano e que não estejam todos na mesma reta, ou seja, que sejam não-colineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a equação de um plano e como podemos escolher valores para as coordenadas para encontrar os pontos desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano: 2x - y - z = 1. Isso significa que para qualquer ponto (x, y, z) que esteja nesse plano, os valores de x, y e z devem satisfazer essa equação. Então, se escolhermos dois dos valores, podemos resolver para o terceiro.

Passo 3

Vamos começar escolhendo alguns valores para facilitar. Por exemplo, podemos definir x e y e resolver para z.
  • Ponto 1: Vamos escolher x = 0 e y = 0. Substituindo na equação: 2(0) - 0 - z = 1 implies -z = 1 implies z = -1 Então, o primeiro ponto é (0, 0, -1).

Passo 4

  • Ponto 2: Agora, escolhemos x = 1 e y = 0. Substituindo: 2(1) - 0 - z = 1 implies 2 - z = 1 implies z = 1 Assim, o segundo ponto é (1, 0, 1).

Passo 5

  • Ponto 3: Vamos escolher x = 0 e y = 1. Substituindo: 2(0) - 1 - z = 1 implies -1 - z = 1 implies z = -2 Então, o terceiro ponto é (0, 1, -2).

Passo 6

Agora, precisamos garantir que esses três pontos não estão todos na mesma linha. Para isso, verificamos se eles são não-colineares. Uma maneira simples é ver se o vetor formado pelos pontos é diferente ou se as coordenadas não seguem uma progressão linear.

Resposta

Os três pontos não-colineares que estão no plano pi: 2x - y - z = 1 são:
(0, 0, -1), (1, 0, 1), (0, 1, -2)

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