O vetor é paralelo ao plano ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está nos pedindo. Temos um vetor e um plano definido pela equação . A questão é saber se esse vetor é paralelo ao plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, planos e como determinar se um vetor é paralelo a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por , onde é o vetor normal ao plano. Esse vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que seja paralelo ao plano.
No nosso caso, a equação do plano é , então o vetor normal é .
Passo 3
Agora, para verificar se o vetor é paralelo ao plano, precisamos checar se ele é perpendicular ao vetor normal . Se o vetor for perpendicular ao vetor normal, então estará no plano, ou seja, será paralelo ao plano.
Para isso, usamos o produto escalar entre os dois vetores. O produto escalar é dado por:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 5
O resultado do produto escalar é zero, ou seja, . Isso significa que o vetor é perpendicular ao vetor normal .
Passo 6
Como o vetor é perpendicular ao vetor normal do plano, isso indica que está contido no plano, ou seja, é paralelo ao plano .
Resposta
Sim, o vetor é paralelo ao plano , pois o produto escalar entre e o vetor normal do plano é zero.