O vetor u=(1,2,1) é paralelo ao plano pi: 2 x-3 y+4 z-600=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está nos pedindo. Temos um vetor u = (1, 2, 1) e um plano definido pela equação 2x - 3y + 4z - 600 = 0. A questão é saber se esse vetor é paralelo ao plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, planos e como determinar se um vetor é paralelo a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal ao plano. Esse vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que seja paralelo ao plano.
No nosso caso, a equação do plano é 2x - 3y + 4z - 600 = 0, então o vetor normal é n = (2, -3, 4).

Passo 3

Agora, para verificar se o vetor u = (1, 2, 1) é paralelo ao plano, precisamos checar se ele é perpendicular ao vetor normal n = (2, -3, 4). Se o vetor u for perpendicular ao vetor normal, então u estará no plano, ou seja, será paralelo ao plano.
Para isso, usamos o produto escalar entre os dois vetores. O produto escalar é dado por:
u cdot n = ux cdot nx + uy cdot ny + uz cdot nz

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
u cdot n = (1)(2) + (2)(-3) + (1)(4) = 2 - 6 + 4 = 0

Passo 5

O resultado do produto escalar é zero, ou seja, u cdot n = 0. Isso significa que o vetor u é perpendicular ao vetor normal n.

Passo 6

Como o vetor u é perpendicular ao vetor normal do plano, isso indica que u está contido no plano, ou seja, é paralelo ao plano pi.

Resposta

Sim, o vetor u = (1, 2, 1) é paralelo ao plano pi: 2x - 3y + 4z - 600 = 0, pois o produto escalar entre u e o vetor normal do plano é zero.

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