Encontre a equação geral do plano cuja equação vetorial é .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação geral do plano a partir de uma equação vetorial. O conteúdo principal aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como passar da forma vetorial para a forma geral da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a forma vetorial de um plano. A equação vetorial geralmente é dada por:
Aqui, é um ponto no plano, e e são vetores diretores que estão no plano.
No nosso caso, temos:
Então, é um ponto no plano, e os vetores e são os vetores diretores.
Passo 3
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano, que é um vetor perpendicular ao plano. Isso pode ser feito calculando o produto vetorial dos dois vetores diretores e .
Vamos chamar:
O produto vetorial será o vetor normal.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Componente i:
(12 times 4 - 0 times (-3)) = 2
Componente j (com sinal negativo):
-(-3 times 4 - 0 times (-1)) = 12
Componente k:
(-3 times (-3) - 12 times (-1)) = 9 + 12 = 192
Então, o vetor normal é:
n = (2, 12, 192)
Para simplificar, podemos multiplicar todos os componentes por 2:
n = (4, 24, 19)
Passo 5
Com o vetor normal n = (4, 24, 19) e o ponto (2, -1, -1) no plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto no plano.