Encontre a equação geral do plano cuja equação vetorial é .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação geral do plano a partir de uma equação vetorial. O conteúdo principal aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como passar da forma vetorial para a forma geral da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a forma vetorial de um plano. A equação vetorial geralmente é dada por:
Aqui, é um ponto no plano, e e são vetores diretores que estão no plano.
No nosso caso, temos:
Então, é um ponto no plano, e os vetores e são os vetores diretores.

Passo 3

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano, que é um vetor perpendicular ao plano. Isso pode ser feito calculando o produto vetorial dos dois vetores diretores e .
Vamos chamar:
O produto vetorial será o vetor normal.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
  • Componente :
  • Componente (com sinal negativo):
  • Componente :
Então, o vetor normal é:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os componentes por 2:

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto no plano.
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos distribuir e simplificar a equação:
Somando os termos constantes:

Resposta

A equação geral do plano é:

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Encontre a equação geral do plano cujas esquações paramétricas são
O vetor é paralelo ao plano ? Justifique sua resposta.