Encontre a equação geral do plano cuja equação vetorial é (x, y, z)=(2,-1,-1)+ s(-3, 12, 0)+t(-1,-3,4).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação geral do plano a partir de uma equação vetorial. O conteúdo principal aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como passar da forma vetorial para a forma geral da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a forma vetorial de um plano. A equação vetorial geralmente é dada por:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + su + tv
Aqui, (x0, y0, z0) é um ponto no plano, e u e v são vetores diretores que estão no plano.
No nosso caso, temos:
(x, y, z) = (2, -1, -1) + s(-3, 12, 0) + t(-1, -3, 4)
Então, (2, -1, -1) é um ponto no plano, e os vetores (-3, 12, 0) e (-1, -3, 4) são os vetores diretores.

Passo 3

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano, que é um vetor perpendicular ao plano. Isso pode ser feito calculando o produto vetorial dos dois vetores diretores u e v.
Vamos chamar:
u = (-3, 12, 0)
v = (-1, -3, 4)
O produto vetorial n = u times v será o vetor normal.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial n = u times v:
n = i & j & k -3 & 12 & 0 -1 & -3 & 4
Calculando o determinante:
  • Componente i:
(12 times 4 - 0 times (-3)) = 2
  • Componente j (com sinal negativo):
-(-3 times 4 - 0 times (-1)) = 12
  • Componente k:
(-3 times (-3) - 12 times (-1)) = 9 + 12 = 192
Então, o vetor normal é:
n = (2, 12, 192)
Para simplificar, podemos multiplicar todos os componentes por 2:
n = (4, 24, 19)

Passo 5

Com o vetor normal n = (4, 24, 19) e o ponto (2, -1, -1) no plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto no plano.
Substituindo os valores:
4(x - 2) + 24(y + 1) + 19(z + 1) = 0

Passo 6

Vamos distribuir e simplificar a equação:
4x - 8 + 24y + 24 + 19z + 19 = 0
Somando os termos constantes:
4x + 24y + 19z + ( -8 + 24 + 19 ) = 0
4x + 24y + 19z + 35 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
4x + 24y + 19z + 35 = 0

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