Encontre a equação do plano que contém o ponto A(2,1,-1) e é ortogonal ao vetor v=i-2 j+3 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é ortogonal ao vetor . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita usando um ponto no plano e um vetor normal a ele. A forma geral é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde é o ponto dado no plano e é o vetor normal.

Passo 3

No nosso caso, o ponto é 1(x - 2) - 2(y - 1) + 3(z - (-1)) = 0 e o vetor normal é , que corresponde aos componentes . Vamos substituir esses valores na equação geral do plano:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação:
1(x - 2) - 2(y - 1) + 3(z + 1) = 0
Distribuindo os termos:
x - 2 - 2y + 2 + 3z + 3 = 0
Combinando termos semelhantes:
x - 2y + 3z + 3 = 0

Resposta

A equação do plano é:
x - 2y + 3z + 3 = 0

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