Obtenha as equações paramétricas da reta x-1=5 y+42=-6 z+9, e determine as intersecções desta reta com os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta dada pela expressão x-1=5 y+42=-6 z+9. Além disso, vamos descobrir onde essa reta cruza os planos coordenados (como o plano XY, XZ e YZ). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas no espaço. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como transformar a forma dada da reta em equações paramétricas. A expressão x-1=5 y+42=-6 z+9 está na chamada forma simétrica da equação da reta, que nos permite encontrar uma variável parâmetro, geralmente chamada de t.
Vamos igualar todas as partes a um parâmetro t:
x - 1 = t 5y + 42 = t -6z + 9 = t

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para expressar x, y e z em função de t:
  1. Para x:
x - 1 = t Rightarrow x = 1 + t
  1. Para y:
5y + 42 = t Rightarrow 5y + 4 = 2t Rightarrow 5y = 2t - 4 Rightarrow y = 2t - 45 = 25t - 45
  1. Para z:
-6z + 9 = t Rightarrow -6z = t - 9 Rightarrow z = 9 - t6 = 96 - t6 = 32 - 16t

Passo 4

Então, as equações paramétricas da reta são:
x = 1 + t y = dfrac25t - dfrac45 z = dfrac32 - dfrac16t

Passo 5

Agora, vamos encontrar as interseções dessa reta com os planos coordenados. Os planos coordenados são:
  1. Plano XY: Onde z = 0.
  2. Plano XZ: Onde y = 0.
  3. Plano YZ: Onde x = 0.
Vamos calcular cada interceptação separadamente.

Passo 6

Interseção com o Plano XY ( z = 0):
Sabemos que z = dfrac32 - dfrac16t = 0. Vamos resolver para t:
dfrac32 - dfrac16t = 0 Rightarrow dfrac16t = dfrac32 Rightarrow t = dfrac32 times 6 = 9
Agora, substituímos t = 9 nas equações de x e y:
x = 1 + 9 = 10 y = dfrac25(9) - dfrac45 = dfrac185 - dfrac45 = dfrac145
Portanto, a interseção com o plano XY é o ponto (10, dfrac145, 0).

Passo 7

Interseção com o Plano XZ ( y = 0):
Sabemos que y = dfrac25t - dfrac45 = 0. Vamos resolver para t:
dfrac25t - dfrac45 = 0 Rightarrow dfrac25t = dfrac45 Rightarrow t = dfrac45 div dfrac25 = 2
Agora, substituímos t = 2 nas equações de x e z:
x = 1 + 2 = 3 z = dfrac32 - dfrac16(2) = dfrac32 - dfrac26 = dfrac32 - dfrac13 = dfrac96 - dfrac26 = dfrac76
Portanto, a interseção com o plano XZ é o ponto (3, 0, dfrac76).

Passo 8

Interseção com o Plano YZ ( x = 0):
Sabemos que x = 1 + t = 0. Vamos resolver para t:
1 + t = 0 Rightarrow t = -1
Agora, substituímos t = -1 nas equações de y e z:
y = dfrac25(-1) - dfrac45 = -dfrac25 - dfrac45 = -dfrac65 z = dfrac32 - dfrac16(-1) = dfrac32 + dfrac16 = dfrac96 + dfrac16 = dfrac106 = dfrac53
Portanto, a interseção com o plano YZ é o ponto (0, -dfrac65, dfrac53).

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 + t y = dfrac25t - dfrac45 z = dfrac32 - dfrac16t
As interseções da reta com os planos coordenados são:
  • Plano XY: (10, dfrac145, 0)
  • Plano XZ: (3, 0, dfrac76)
  • Plano YZ: (0, -dfrac65, dfrac53)

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