Obtenha as equações paramétricas da reta , e determine as intersecções desta reta com os planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta dada pela expressão . Além disso, vamos descobrir onde essa reta cruza os planos coordenados (como o plano XY, XZ e YZ). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas no espaço. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como transformar a forma dada da reta em equações paramétricas. A expressão está na chamada forma simétrica da equação da reta, que nos permite encontrar uma variável parâmetro, geralmente chamada de .
Vamos igualar todas as partes a um parâmetro :
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para expressar , e em função de :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as interseções dessa reta com os planos coordenados. Os planos coordenados são:
Plano XY: Onde z = 0.
Plano XZ: Onde y = 0.
Plano YZ: Onde x = 0.
Vamos calcular cada interceptação separadamente.
Passo 6
Interseção com o Plano XY (z = 0):
Sabemos que z = dfrac32 - dfrac16t = 0. Vamos resolver para t:
dfrac32 - dfrac16t = 0 Rightarrow dfrac16t = dfrac32 Rightarrow t = dfrac32 times 6 = 9
Agora, substituímos t = 9 nas equações de x e y:
x = 1 + 9 = 10 y = dfrac25(9) - dfrac45 = dfrac185 - dfrac45 = dfrac145
Portanto, a interseção com o plano XY é o ponto (10, dfrac145, 0).
Passo 7
Interseção com o Plano XZ (y = 0):
Sabemos que y = dfrac25t - dfrac45 = 0. Vamos resolver para t:
dfrac25t - dfrac45 = 0 Rightarrow dfrac25t = dfrac45 Rightarrow t = dfrac45 div dfrac25 = 2