Determine as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações paramétricas de um plano definido por três pontos no espaço: , e . Aqui, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que estão no plano e como usar esses vetores para formar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos , e . Para isso, vamos calcular os vetores e .
O vetor é dado pela diferença das coordenadas de menos as de :
Já o vetor é:
Passo 3
Com os vetores e encontrados, sabemos que eles estão no plano que queremos descrever. Agora, podemos usar um dos pontos, por exemplo , como ponto de referência, e expressar qualquer ponto no plano como uma combinação linear desses vetores.
A forma paramétrica de um plano é dada por:
onde é um ponto no plano (nesse caso, ), e e são vetores no plano ( e ).
Passo 4
Substituindo os valores que temos na fórmula paramétrica:
x = 3 + s cdot (-2) + t cdot (-4) y = 1 + s cdot (-1) + t cdot 0 z = 2 + s cdot (-2) + t cdot (-4)