Determine as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(3,1,2), B(1,0,0) e C(-1,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações paramétricas de um plano definido por três pontos no espaço: , e . Aqui, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que estão no plano e como usar esses vetores para formar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos AB = B - A = (1-3, 0-1, 0-2) = (-2, -1, -2) , AC = C - A = (-1-3, 1-1, -2-2) = (-4, 0, -4) e . Para isso, vamos calcular os vetores e .
O vetor é dado pela diferença das coordenadas de menos as de :
Já o vetor é:

Passo 3

Com os vetores x = x0 + s cdot vx + t cdot wx y = y0 + s cdot vy + t cdot wy z = z0 + s cdot vz + t cdot wz e encontrados, sabemos que eles estão no plano que queremos descrever. Agora, podemos usar um dos pontos, por exemplo , como ponto de referência, e expressar qualquer ponto no plano como uma combinação linear desses vetores.
A forma paramétrica de um plano é dada por:
onde é um ponto no plano (nesse caso, ), e e são vetores no plano ( e ).

Passo 4

Substituindo os valores que temos na fórmula paramétrica:
x = 3 + s cdot (-2) + t cdot (-4) y = 1 + s cdot (-1) + t cdot 0 z = 2 + s cdot (-2) + t cdot (-4)
Simplificando cada equação:
x = 3 - 2s - 4t y = 1 - s z = 2 - 2s - 4t

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 3 - 2s - 4t y = 1 - s z = 2 - 2s - 4t
onde e são parâmetros reais.

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