Determine em cada caso a seguir, um vetor unitário paralelo á reta dad
x=2 s+1, y=-s e z=-1+2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos um vetor unitário paralelo à reta dada pelas equações paramétricas:
x = 2s + 1, y = -s, z = -1 + 2s
Vamos trabalhar com vetores e retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor que define a direção dessa reta e, em seguida, transformá-lo em um vetor unitário (ou seja, com comprimento igual a 1).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações paramétricas da reta. Elas estão na forma:
x = x0 + a s, y = y0 + b s, z = z0 + c s,
onde x = 2s + 1, y = -s, z = -1 + 2s é um ponto na reta e a = 2, b = -1, c = 2 é o vetor diretor da reta.
No nosso caso:
2 -1 2
Comparando com a forma geral, identificamos que:
Portanto, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, queremos um vetor unitário paralelo a essa reta. Para isso, precisamos normalizar o vetor diretor |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 . Normalizar significa dividir o vetor pelo seu módulo (ou comprimento), assim ele ter�� comprimento 1.
Primeiro, calculamos o módulo de :

Passo 4

Com o módulo conhecido, podemos encontrar o vetor unitário u = v|v| = 13 2 -1 2 = 23 -13 23 dividindo cada componente de pelo seu módulo:
Assim, é um vetor unitário paralelo à reta dada.

Resposta

Um vetor unitário paralelo à reta dada é:
u = ( dfrac23, -dfrac13, dfrac23 )

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