Encontre a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pela origem e é perpendicular a uma reta específica. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos. Para isso, vamos precisar descobrir a direção da reta dada e usar essa direção para determinar o vetor normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
. Essa é uma forma simétrica de representar uma reta no espaço. Para facilitar, vamos transformar isso em uma forma paramétrica.
Vamos chamar o parâmetro de
. Assim, temos:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 3
Com as equações paramétricas, podemos identificar o vetor de direção da reta. O vetor de direção é formado pelos coeficientes de
nas equações paramétricas. Então, temos:
Passo 4
Agora, como o plano que queremos encontrar é perpendicular à reta, o vetor normal do plano (
) será paralelo ao vetor de direção da reta. Assim, podemos usar o vetor
como o vetor normal do plano:
Passo 5
Com o vetor normal
e sabendo que o plano passa pela origem (0, 0, 0), podemos usar a equação geral do plano:
Onde
. Fazendo o produto escalar, temos:
Resposta
A equação do plano é:
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta paralela à reta
e passa pelo ponto
2).
Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Sabe-se que
moléculas de oxigênio
reagem com
moléculas de hidrogênio
para produzir
moléculas de água
:
A equação está balanceada quando o número de átomos de cada elemento permanece o mesmo após a reação. Determine a quantidade de moléculas de oxigênio e hidrogênio necessárias para produzir 10 moléculas de água de forma que a reação acima fique balanceada.
Uma reta
é paralela à reta
,
passa pelo ponto
. Encontre o ângulo entre as retas
.