Encontre a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular à reta 2 x / 3=y= 3 z / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pela origem e é perpendicular a uma reta específica. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos. Para isso, vamos precisar descobrir a direção da reta dada e usar essa direção para determinar o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada: y = t . Essa é uma forma simétrica de representar uma reta no espaço. Para facilitar, vamos transformar isso em uma forma paramétrica.
Vamos chamar o parâmetro de 2x3 = t Rightarrow x = 32t . Assim, temos:
3z2 = t Rightarrow z = 23t
x = 32t, y = t, z = 23t
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 3

Com as equações paramétricas, podemos identificar o vetor de direção da reta. O vetor de direção é formado pelos coeficientes de d = ( 32, 1, 23 ) nas equações paramétricas. Então, temos:

Passo 4

Agora, como o plano que queremos encontrar é perpendicular à reta, o vetor normal do plano ( n = ( 32, 1, 23 ) ) será paralelo ao vetor de direção da reta. Assim, podemos usar o vetor como o vetor normal do plano:

Passo 5

Com o vetor normal n cdot r = 0 e sabendo que o plano passa pela origem (0, 0, 0), podemos usar a equação geral do plano:
32x + 1y + 23z = 0
Onde . Fazendo o produto escalar, temos:

Resposta

A equação do plano é:
32x + y + 23z = 0

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