Encontre a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pela origem e é perpendicular a uma reta específica. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos. Para isso, vamos precisar descobrir a direção da reta dada e usar essa direção para determinar o vetor normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
. Essa é uma forma simétrica de representar uma reta no espaço. Para facilitar, vamos transformar isso em uma forma paramétrica.
Vamos chamar o parâmetro de
. Assim, temos:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 3
Com as equações paramétricas, podemos identificar o vetor de direção da reta. O vetor de direção é formado pelos coeficientes de
nas equações paramétricas. Então, temos:
Passo 4
Agora, como o plano que queremos encontrar é perpendicular à reta, o vetor normal do plano (
) será paralelo ao vetor de direção da reta. Assim, podemos usar o vetor
como o vetor normal do plano:
Passo 5
Com o vetor normal
e sabendo que o plano passa pela origem (0, 0, 0), podemos usar a equação geral do plano:
Onde
. Fazendo o produto escalar, temos:
Resposta
A equação do plano é: