Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e cinco incógnitas ( ). Vamos usar o método de Gauss-Jordan para resolver esse sistema. Para isso, vamos precisar construir a matriz aumentada do sistema, aplicar o método para reduzir a matriz à forma escalonada reduzida, determinar os postos das matrizes envolvidas e, se o sistema for possível, encontrar o grau de liberdade das soluções.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz:

Passo 3

Agora, aplicamos o método de Gauss-Jordan para reduzir essa matriz à forma escalonada reduzida. O objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda linha para eliminar o primeiro elemento da segunda linha:

Passo 4

Em seguida, queremos que o segundo pivô (elemento da segunda linha e segunda coluna) seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -2:

Passo 5

Agora, eliminamos o elemento acima do segundo pivô. Subtraímos a segunda linha da primeira linha:

Passo 6

A matriz está agora na forma escalonada reduzida:

Passo 7

Vamos determinar os postos das matrizes. O posto da matriz aumentada é o número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida, que nesse caso é 2. O posto da matriz dos coeficientes (sem a coluna dos termos constantes) também é 2.

Passo 8

Como o posto das matrizes é igual e menor que o número de incógnitas (5), o sistema é compatível e possui infinitas soluções. O grau de liberdade é dado pelo número de incógnitas menos o posto, ou seja, .

Resposta

O sistema possui infinitas soluções com um grau de liberdade igual a 3.

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