Determine a equação do plano que contém a reta x-11=y-2-1=z+32 e é perpendicular ao plano x+2 y-z=4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano que atenda a duas condições:
  1. O plano deve conter a reta dada pela equação x-11=y-2-1=z+32.
  2. O plano deve ser perpendicular ao plano x + 2y - z = 4.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e condições de perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Vamos começar analisando a reta dada: x-11=y-2-1=z+32. Essa é a forma paramétrica da reta, onde:
  • O ponto pelo qual a reta passa é (1, 2, -3).
  • O vetor diretor da reta é d = lang<= 1, -1, 2 rang<=.
Essas informações vão nos ajudar a determinar a equação do plano que contém essa reta.

Passo 3

Agora, consideramos que o plano que queremos encontrar é perpendicular ao plano x + 2y - z = 4. Sabemos que dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares.
O vetor normal do plano dado é n1 = lang<= 1, 2, -1 rang<=. Vamos chamar o vetor normal do nosso plano de n2.
Para que os planos sejam perpendiculares, o produto escalar entre n1 e n2 deve ser zero:
n1 cdot n2 = 0

Passo 4

Além disso, como o plano que estamos procurando contém a reta dada, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Ou seja:
d cdot n2 = 0
Então, temos duas condições:
  1. 1 cdot n2x + 2 cdot n2y - 1 cdot n2z = 0
  2. 1 cdot n2x - 1 cdot n2y + 2 cdot n2z = 0

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar os componentes de n2:
n2x + 2n2y - n2z = 0 n2x - n2y + 2n2z = 0
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e subtrair da primeira:
n2x + 2n2y - n2z - 2(n2x - n2y + 2n2z) = 0
n2x + 2n2y - n2z - 2n2x + 2n2y - 4n2z = 0
- n2x + 4n2y - 5n2z = 0
Podemos assumir um valor para uma das variáveis e resolver as outras. Por simplicidade, vamos assumir n2z = 1:
- n2x + 4n2y - 5 = 0 Rightarrow n2x = 4n2y - 5
Substituindo esse valor na segunda equação original:
(4n2y - 5) - n2y + 2(1) = 0
3n2y - 5 + 2 = 0 Rightarrow 3n2y = 3 Rightarrow n2y = 1
Então, n2x = 4(1) - 5 = -1.
Portanto, o vetor normal do plano é n2 = lang<= -1, 1, 1 rang<=.

Passo 6

Com o vetor normal n2 = lang<= -1, 1, 1 rang<= e sabendo que o plano passa pelo ponto (1, 2, -3), podemos usar a equação geral do plano:
n2x(x - x0) + n2y(y - y0) + n2z(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
-1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z + 3) = 0
Simplificando:
- x + 1 + y - 2 + z + 3 = 0 - x + y + z + 2 = 0 x - y - z = 2

Resposta

A equação do plano é x - y - z = 2.

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