Determine a equação do plano que contém a reta
e é perpendicular ao plano
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano que atenda a duas condições:
- O plano deve conter a reta dada pela equação
. - O plano deve ser perpendicular ao plano
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e condições de perpendicularidade entre planos.
Passo 2
Vamos começar analisando a reta dada:
. Essa é a forma paramétrica da reta, onde:
- O ponto pelo qual a reta passa é
. - O vetor diretor da reta é
.
Essas informações vão nos ajudar a determinar a equação do plano que contém essa reta.
Passo 3
Agora, consideramos que o plano que queremos encontrar é perpendicular ao plano
. Sabemos que dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares.
O vetor normal do plano dado é
. Vamos chamar o vetor normal do nosso plano de
.
Para que os planos sejam perpendiculares, o produto escalar entre
e
deve ser zero:
Passo 4
Além disso, como o plano que estamos procurando contém a reta dada, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Ou seja:
Então, temos duas condições:
Passo 5
Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar os componentes de
:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e subtrair da primeira:
Podemos assumir um valor para uma das variáveis e resolver as outras. Por simplicidade, vamos assumir
:
Substituindo esse valor na segunda equação original:
Então,
.
Portanto, o vetor normal do plano é
.
Passo 6
Com o vetor normal
e sabendo que o plano passa pelo ponto
, podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano é
.