Verifique se as seguintes funções são harmônicas. f(x, y) = e^x sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é harmônica. Isso está relacionado ao estudo de funções harmônicas na matemática, que são funções que satisfazem a equação de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e ver se a soma delas na equação de Laplace resulta em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, que no caso de duas variáveis é:
Aqui, é a segunda derivada parcial de em relação a , e é a segunda derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos somar as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma das derivadas é igual a zero, isso satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim, a função é harmônica.

Exercícios relacionados

Seja f: R -> R uma função derivável, com f'(t) > 0, para todo t. Se g(x, y) = f(x^2 + y^2), mostre que a derivada direcional D_v g(x, y) será máxima quando v = x i + y j.
Considere a curva gamma de equações paramétricas x = t, y = t^2 e z = t^3, -infinito < t < infinito.
(a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto P0(2,4,8).
Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies. x^2 + 4y^2 = z^2 no ponto P = (3, 2, 5) (o cone elíptico)
Calcule a derivada direcional Da função f(x, y) = x^2 + y^2 no ponto P = (1, 2) na direção do vetor u = (2, -3).