Utilize coordenadas cilíndricas para calcular

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O conteúdo envolvido aqui são as coordenadas cilíndricas e a integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar converter essa integral de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, o que geralmente simplifica o cálculo quando há simetria circular no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos e por e , onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Além disso, a expressão se torna simplesmente em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos converter os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a , o que descreve um círculo de raio no plano .
  • Para cada , varia de até .
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
  • varia de a (um círculo completo).
  • varia de a (raio do círculo).
  • varia de a .

Passo 4

Com todas as conversões feitas, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos por e adicionamos o fator extra de do elemento de volume .
Simplificando a integranda:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos começar a integrar em relação a . A integral interna é:
Isso porque é constante em relação a , então é apenas multiplicado pela diferença dos limites de integração de .
Agora, a integral fica:

Passo 6

Em seguida, vamos integrar em relação a . Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, a integral em fica:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:

Passo 7

Agora, resta apenas integrar em relação a :

Resposta

A integral vale .

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