Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O conteúdo envolvido aqui são as coordenadas cilíndricas e a integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar converter essa integral de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, o que geralmente simplifica o cálculo quando há simetria circular no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos
e
por
e
, onde:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por:
Além disso, a expressão
se torna simplesmente
em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos converter os limites de integração. Observando os limites originais:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a , o que descreve um círculo de raio no plano . - Para cada
, varia de até .
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
-
varia de a (um círculo completo). -
varia de a (raio do círculo). -
varia de a .
Passo 4
Com todas as conversões feitas, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos
por
e adicionamos o fator extra de
do elemento de volume
.
Simplificando a integranda:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos começar a integrar em relação a
. A integral interna é:
Isso porque
é constante em relação a
, então é apenas multiplicado pela diferença dos limites de integração de
.
Agora, a integral fica:
Passo 6
Em seguida, vamos integrar em relação a
. Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, a integral em
fica:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Passo 7
Agora, resta apenas integrar em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
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Use integral tripla para determinar o volume do tetraedro
limitado pelos planos
e
.
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
© , para todo
.
©
Determine a área de superfície da parte da superfície
que fica acima da região triangular
no plano
com vértice
e
.
Encontre a equação do plano tangente à superfície gráfico da função o
, no ponto onde a função tenha um valor extremo.