Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2) dz , dy , dx
O conteúdo envolvido aqui são as coordenadas cilíndricas e a integração múltipla. Para resolver isso, vamos precisar converter essa integral de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, o que geralmente simplifica o cálculo quando há simetria circular no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos x = r costheta y = r sintheta e dV = r , dz , dr , dtheta por e , onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Além disso, a expressão se torna simplesmente em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos converter os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a , o que descreve um círculo de raio no plano .
  • Para cada , varia de até .
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
  • varia de a (um círculo completo).
  • varia de a (raio do círculo).
  • varia de a .

Passo 4

Com todas as conversões feitas, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 (r^2) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, substituímos r^2 cdot r = r^3 por integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^3 , dz , dr , dtheta e adicionamos o fator extra de do elemento de volume .
Simplificando a integranda:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos começar a integrar em relação a integralr^2 r^3 , dz = r^3 cdot (2 - r) . A integral interna é:
integral0^2pi integral0^2 r^3(2 - r) , dr , dtheta
Isso porque é constante em relação a , então é apenas multiplicado pela diferença dos limites de integração de .
Agora, a integral fica:

Passo 6

Em seguida, vamos integrar em relação a r^3(2 - r) = 2r^3 - r^4 . Expandindo a expressão dentro da integral:
integral0^2 (2r^3 - r^4) , dr
Então, a integral em 2 integral0^2 r^3 , dr - integral0^2 r^4 , dr = 2 [ r^44 ]0^2 - [ r^55 ]0^2 fica:
2 ( 164 - 0 ) - ( 325 - 0 ) = 2 cdot 4 - 325 = 8 - 325 = 405 - 325 = 85
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:

Passo 7

Agora, resta apenas integrar em relação a integral0^2pi 85 , dtheta = 85 cdot (2pi - 0) = 16pi5 :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados