Encontre a equação do plano tangente à superfície
que seja paralelo ao plano de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície
que seja paralelo ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para o plano tangente à superfície
em um ponto qualquer
. A fórmula do plano tangente é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
O plano dado ao qual o plano tangente deve ser paralelo é
. O vetor normal a esse plano é
.
Como os planos são paralelos, os vetores normais devem ser proporcionais. O vetor normal do plano tangente é dado por
, já que rearranjamos a equação do plano tangente na forma
.
Portanto, temos:
Passo 5
Isso implica que existem constantes
tais que:
Vamos resolver para
usando a terceira equação:
Passo 6
Agora, substituímos
nas primeiras duas equações:
Passo 7
Lembrando que:
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 8
Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 2 para eliminar o denominador:
Agora, temos:
Multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar
:
Somando as duas equações:
Agora, substituímos
na primeira equação original:
Passo 9
Agora que temos
e
, vamos encontrar
usando a equação da superfície:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 10
Finalmente, escrevemos a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
O volume molar da glucose em mililitros de soluçăo glucose-água é dado pela equaçăo:
Em que m é a molalidade da soluçăo. O volume parcial da glucose,
, é a inclinaçăo de V versus m da curva,
. Encontre o volume molar parcial da glucoṣe em uma solução a
de glucose em agua.
Determine os pontos em que a sequência
converge pontualmente.
Determine o ponto da superfície
no qual o plano tangente é paralelo ao plano de equação
.
Se
é uma função diferenciável de uma variável e
, com
, verifique que o plano tangente à superfície
em
passa pela origem.